Дроби в древнем египте. Дроби в Древнем Египте
История современного города Афины.
Древние Афины
История современных Афин

Дроби в Древнем Египте. Дроби в древнем египте


Дроби в Древнем Египте

В древнем Египте пользовались только простейшими дробями, у которых числитель равен единице (те, которые мы называем «долями»). Математики называют такие дроби аликвотными (от лат. aliquot – несколько). Так же используется название основные дроби или единичные дроби.

Египтяне ставили иероглиф

(ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. К примеру:

Египтяне использовали только две дроби не являющиеся долями – две трети и три четверти. Эти дроби часто встречались в вычислениях. Для них существовали специальные символы, был специальный знак и для дроби 1/2.

Иероглиф Значение Примерная величина

 

 

большая часть глаза 1/2 (или 32/64)

 

 

зрачок 1/4 (или 16/64)

 

 

бровь 1/8 (или 8/64)

 

 

меньшая часть глаза 1/16 (или 4/64)

 

 

капля слезы (?) 1/32 (или ²/64)

 

 

знак сокола (?) 1/64

 

 

Уаджет 63/64

Кроме того, египтяне использовали формы записи, основанные на иероглифе Глаз Гора (Уаджет). Для древних характерно переплетение образа Солнца и глаза. В египетской мифологии часто упоминается бог Гор, олицетворяющий крылатое Солнце и являющийся одним из самых распространенных сакральных символов. В битве с врагами Солнца, воплощенными в образе Сета, Гор сначала терпит поражение. Сет вырывает у него Глаз — чудесное око — и разрывает его в клочья. Тот — бог учения, разума и правосудия — снова сложил части глаза в одно целое, создав "здоровый глаз Гора". Изображения частей разрубленного Ока использовались при письме в Древнем Египте для обозначения дробей от 1/2 до 1/64 .

Сумма шести знаков, входящих в Уаджет, и приведенных к общему знаменателю: 32/64 + 16/64 + 8/64 + 4/64 + 2/64 + 1/64 = 63/64

Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат, основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Гора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката.

При этом «рот» помещался перед всеми иероглифами.

Хекат ячменя: 1/2 + 1/4 + 1/32 (то есть 25/32 сосуда ячменя).

Хекат равнялся примерно 4,785 литрам.

Всякую другую дробь египтяне представляли как сумму аликвотных дробей, например 9/16 = 1/2+1/16; 7/8=1/2+1/4+1/8 и так далее.

Это записывалось так: /2 /16; /2 /4 /8.

В некоторых случаях это кажется достаточно просто. Например, 2/7 = 1/7 + 1/7. Но ещё одним правилом египтян было отсутствие в ряду дробей повторяющихся чисел. То есть 2/7 по их мнению было 1/4+1/28.

Сейчас сумма нескольких аликвотных дробей называется египетской дробью. Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Проводить различные вычисления, выражая все дроби через единичные, было, конечно, очень трудно и отнимало много времени. Поэтому египетские ученые позаботились об облегчении труда писца. Они составили специальные таблицы разложений дробей на простейшие. Математические документы древнего Египта это не научные трактаты по математике, а практические учебники с примерами, взятыми из жизни. Среди задач, которые должен был решать ученик школы писцов, - вычисления и вместимости амбаров, и объема корзины, и площади поля, и раздела имущества среди наследников, и другие. Писец должен был запомнить эти образцы и уметь быстро применять их для расчетов.

Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима.

Самый древний памятник египетской математики, так называемый «Московский папирус», - документ XIX века до нашей эры. Он был приобретен в 1893 году собирателем древних сокровищ Голенищевым, а в 1912 году перешел в собственность Московского музея изящных искусств. В нем содержалось 25 различных задач.

Например, в нем рассматривается задача о делении 37 на число, заданное как (1 + 1/3 + 1/2 + 1/7). Путем последовательного удвоения этого дробного числа и выражения разности между 37 и тем, что получилось, а также при помощи процедуры, по сути, аналогичной нахождению общего знаменателя, получается ответ: частное равно 16 + 1/56 + 1/679 + 1/776.

Самый большой математический документ - папирус по руководству к вычислениям писца Ахмеса - найден в 1858 году английским коллекционером Райндом. Папирус составлен в XVII веке до нашей эры. Его длина 20 метров, ширина 30 сантиметров. Он содержит 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби вида 2\n от 2/5 до 2/99 записаны в виде сумм аликвотных дробей. Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Еще сложнее обстояло дело с делением. Вот, например, как 5 делили на 21:

 

 

 

Часто встречающаяся задача из папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками; разница между каждым человеком и его соседом составляет - 1/8 меры. Средняя доля есть одна мера. Вычти одну из 10; остаток 9. Составь половину разницы; это есть 1/16. Возьми ее 9 раз. Приложи это к средней доле; вычитай для каждого лица по 1/8 меры, пока не достигнешь конца». [1]

Еще одна задача из папируса Ахмеса, демонстрирующая применение аликвотных дробей: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми».Если резать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов.А по-египетски эта задача решалась так. Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2 + 1/4 + 1/8. Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезаем пополам, два хлеба - на 4 части и один хлеб - на 8 долей, после чего каждому даем его часть.

Египетские таблицы дробей и различные вавилонские таблицы - древнейшие из известных нам средств, облегчающих вычисления.

Египетские дроби продолжали использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков. К примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой (позиционная система исчисления). Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci» - это вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

 

Дата добавления: 2015-09-04; просмотров: 472 | Нарушение авторских прав

Дроби в Древнем Риме. | Дроби в Древней Греции. | Дроби на Руси | Дроби в Древнем Китае |mybiblioteka.su - 2015-2018 год. (0.059 сек.)

mybiblioteka.su

Египетские дроби: imit_omsu

Египетская дробь — в математике сумма нескольких попарно различных дробей вида 1/n (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Египетская дробь представляет собой положительное рациональное число вида a/b. Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби (что мы ниже и сделаем).

История

Египетские дроби были изобретены и впервые использованы в Древнем Египте. У египтян не было дробей с числителем и знаменателем, как у нас. Были только часто используемые дроби, которые называют «натуральными». В Древнем Египте это дроби для которых имелись специальные термины. Для дробей есть специальные обозначения.

По мере того, как техника счета совершенствовалась, область дробей распространилась на основные (или аликвотные). Египтяне ставили иероглиф над числом для обозначения такой дроби. (На картинке ниже -- дробь )Никаких других дробей, кроме этих, египтянин написать не мог.

Замечательно словесное выражение для , которое буквально значит «две части». Дополнение «двух частей» до полной единицы называлось «третьей частью». Аналогично можно объяснить другие наши дроби ().

В таком понимании пятая часть, например, представляет последнюю часть, которая вместе с четырьмя другими образует полную единицу. Говоря буквально, бессмысленно говорить о «двух пятых», так как имеется только одна пятая часть, а именно последняя.

Кроме того, дробную черту египтяне не воспринимали как деление. Да у них и слова «делить» не было. То есть возникновение египетских дробей было обусловлено отсутствие соответствующего математического аппарата.

Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. А вот задача из этого знаменитого папируса: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми». Решена задача у Ахмеса так: поскольку , то каждому надо дать по половинке, четвертинке и восьмушке хлеба.

Египетские дроби продолжали использоваться в Древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков. Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи.

Способы разложения на египетские дроби

Жадный алгоритм, он же алгоритм Фибоначчи.

Алгоритм Фибоначчи осуществляет разложение путём последовательного проведения замены:

Иначе говоря, на каждом шаге мы выбираем максимальную дробь вида , не превосходящую . А на следующем шаге переходим к дроби .

Поскольку каждый шаг разложения уменьшает числитель остаточной дроби, этот метод завершится за конечное число шагов. (И тем самым мы показали, что любую обыкновенную дробь можно разложить в египетскую). Однако, по сравнению с древними египетскими методами разложения или более современными методами, этот метод может дать разложение с довольно большими знаменателями.

Например, для жадный алгоритм даёт разложение на десять дробей, последняя из которых имеет в знаменателе аж 500 знаков!, тогда как существует гораздо более простое представление:

Другой метод представления обыкновенной дроби в виде египетской называется

Разрешение конфликтов

Пусть . Положим

Когда несколько слагаемых в разложении совпадают, будем исправлять эту «неправильную» ситуацию. Каждый шаг алгоритма состоит в замене каких-то слагаемых другими. Будем рассматривать следующие разновидности этого метода.

Метод парных замен.

Например:

Метод подразбиения. Если какое-либо слагаемое встречается больше одного раза, выполним одну замену,

Например:

Плюсы и минусы египетских дробей

В английской вики есть такой чудный пример: «Египетские дроби иногда легче позволяют сравнить размер дробей. Например, если некто хочет знать, больше ли , чем . Он может превратить их в египетские дроби:; »

Этот «легкий способ» напоминает шутку про Фейнмана, который ради какой-то задачи школьного курса просуммировал ряды в уме. Сравнивать в уме обычные дроби в их нормальной записи кажется гораздо проще, чем переводить их в египетский вид. Возможно, для египтян сравнения такого рода и были более удобны, так как наших дробей они не знали.

Вернемся к задаче про 7 хлебов и 8 человек. Если говорить как обычно, что всем надо выдать по , нам придется каждую буханку хлеба разрезать на 8 частей и каждому дать по 7 частей из них. Если же мы представим в виде , то нужно 4 буханки разрезать пополам, 2 буханки разрезать на 4 части и только одну буханку разрезать на 8 частей. То есть каждому выдать не по 7 маленьких кусочков размером 1/7, а всего по три куска.

Как сказала Екатерина Георгиевна: «Меньше разрезов — это хорошо! Но еще и меньше кусков!»

Конечно, в современном мире мы не пользуемся египетскими дробями. Еще Фибоначчи показал, что по сравнению с обыкновенными дробями это неудобно.

Гипотезы

Ну, и напоследок об открытых, нерешенных проблемах. Вдруг, кто-нибудь докажет на досуге :)

Гипотеза Эрдёша — Штрауса утверждает, что для всякого целого числа n ≥ 2, существуют положительные целые x, y и z, при которых

Компьютерные эксперименты показывают, что гипотеза верна для всех n ≤ 1014, но доказательство пока не найдено.

Обобщение этой гипотезы, предложенное Анджеем Шинцелем, утверждает, что для всякого положительного k существует N, при котором для всех n ≥ N существует разложение

Иначе говоря, разложение в египетские дроби всегда можно придумать не слишком-то длинное!Специально для жж матфака Евгения Федотова.

imit-omsu.livejournal.com

Египетские дроби — WiKi

Египетская дробь — в математике сумма нескольких попарно различных дробей вида 1n{\displaystyle {\frac {1}{n}}} (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Пример: 12+13+116{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{16}}}.

Египетская дробь представляет собой положительное рациональное число вида a/b; к примеру, египетская дробь, записанная выше, может быть записана в виде дроби 43/48. Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби (вообще говоря, бесконечным числом способов[1]). Сумма такого типа использовалась математиками для записи произвольных дробей, начиная со времён древнего Египта до средневековья. В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики.

Древний Египет

Дополнительную информацию по данному вопросу см. в Египетская система счисления, Математика в Древнем Египте.

Египетские дроби были изобретены и впервые использованы в древнем Египте. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом в эпоху Второго переходного периода; он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Египтяне ставили иероглиф

 

(ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в иератических текстах использовали линию. К примеру:

=13{\displaystyle ={\frac {1}{3}}} 
  
=110{\displaystyle ={\frac {1}{10}}} 

У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4 (последние два знака — единственные используемые египтянами дроби, не являющиеся аликвотными), которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).

Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида 1/2k (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двухэлементных рациональных чисел. Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат (~4,785 литра), основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката.

Например, так: =1331{\displaystyle ={\frac {1}{331}}} 

При этом «рот» помещался перед всеми иероглифами.

Античность и Средневековье

Египетские дроби продолжали использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков (к примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой). Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci».

Основная тема «Liber Abaci» — вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

Алгоритм Фибоначчи

Первый дошедший до нас общий метод разложения произвольной дроби на египетские составляющие описал Фибоначчи в XIII веке. В современной записи его алгоритм можно изложить следующим образом.

1. Дробь mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}  разлагается на два слагаемых:

mn=1⌈n/m⌉+(−n)modmn⌈n/m⌉.{\displaystyle {\frac {m}{n}}={\frac {1}{\lceil n/m\rceil }}+{\frac {(-n)\,{\bmod {\,}}m}{n\lceil n/m\rceil }}.} 

Здесь ⌈n/m⌉{\displaystyle \lceil n/m\rceil }  — частное от деления n на m, округлённое до целого в бо́льшую сторону, а (−n)modm{\displaystyle (-n)\,{\bmod {\,}}m}  — (положительный) остаток от деления -n на m.

2. Первое слагаемое в правой части уже имеет вид египетской дроби. Из формулы видно, что числитель второго слагаемого строго меньше, чем у исходной дроби. Аналогично, по той же формуле, разложим второе слагаемое и продолжим этот процесс, пока не получим слагаемое с числителем 1.

Метод Фибоначчи всегда сходится после конечного числа шагов и даёт искомое разложение. Пример:

715=13+215=13+18+1120{\displaystyle {\frac {7}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{120}}} 

Однако полученное таким методом разложение может оказаться не самым коротким. Пример его неудачного применения:

5121=125+1757+1763309+1873960180913+11527612795642093418846225,{\displaystyle {\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{757}}+{\frac {1}{763309}}+{\frac {1}{873960180913}}+{\frac {1}{1527612795642093418846225}},} 

в то время как более совершенные алгоритмы приводят к разложению:

5121=133+1121+1363.{\displaystyle {\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}.} 

ru-wiki.org

Реферат Египетские дроби

Опубликовать скачать

Реферат на тему:

План:

    Введение
  • 1 Древний Египет
  • 2 Античность и Средневековье
  • 3 Современная теория чисел
  • 4 Открытые проблемы
  • Литература

Введение

Египетская дробь — в математике сумма нескольких дробей вида (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Пример: .

Египетская дробь представляет собой положительное рациональное число вида a/b; к примеру, египетская дробь, записанная выше, может быть записана в виде дроби 43/48. Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби. Сумма такого типа использовалась математиками как определение для дробей начиная со времён древнего Египта до средневековья. В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики.

1. Древний Египет

Дополнительную информацию по данному вопросу см. в Египетская система счисления, Математика в Древнем Египте.

Египетские дроби были изобретены и впервые использованы в древнем Египте. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан Ахмесом в эпоху Второго переходного периода; он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Египтяне ставили иероглиф

(ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. К примеру:

У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4, которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).

Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида 1/2k (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двухэлементных рациональных чисел. Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат, основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката.

При этом "рот" помещался перед всеми иероглифами.

2. Античность и Средневековье

Египетские дроби продолжались использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков (к примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой). Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci».

Основная тема «Liber Abaci» — вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

3. Современная теория чисел

4. Открытые проблемы

Литература

  • Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Перевод с голландского Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1959, 456 с. (Репринт: М.: УРСС, 2007)
  • Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук (Догреческая математика). Т. 1. М.–Л.: ОНТИ, 1937.
  • Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М.: Наука, 1968. (Репринт: М.: УРСС, 2003)
  • Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск, Мордовское гос. изд-во, 1977.
  • Раик А. Е. К истории египетских дробей. Историко-математические исследования, 23, 1978, с. 181–191.
  • Яновская С. А. К теории египетских дробей. Труды Института истории естествознания, 1, 1947, с. 269–282.
  • Beeckmans, L. (1993). «The splitting algorithm for Egyptian fractions». Journal of Number Theory 43: 173–­185.
  • Botts, Truman (1967). «A chain reaction process in number theory». Mathematics Magazine: 55–65.
  • Breusch, R. (1954). «A special case of Egyptian fractions, solution to advanced problem 4512». American Mathematical Monthly 61: 200–­201.
  • Bruins, Evert M. (1957). «Platon et la tabl égyptienne 2/n». Janus 46: 253–263.
  • Eves, Howard An Introduction to the History of Mathematics,. — Holt, Reinhard, and Winston, 1953. — ISBN 0-03-029558-0
  • Gillings, Richard J. Mathematics in the Time of the Pharaohs. — Dover, 1982. — ISBN ISBN 0-486-24315-X
  • Graham, R. L. (1964). «On finite sums of reciprocals of distinct nth powers». Pacific Journal of Mathematics 14 (1): 85–92.
  • Hultsch, Friedrich Die Elemente der ägyptischen Theilungsrechnung. — Leipzig: S. Hirzel, 1895.
  • Knorr, Wilbur R. (1982). «Techniques of fractions in ancient Egypt and Greece». Historia Mathematica 9: 133–171.
  • Lüneburg, Heinz Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. — Mannheim: B. I. Wissenschaftsverlag, 1993. — ISBN ISBN 3-411-15461-6
  • Martin, G. (1999). «Dense Egyptian fractions». Transactions of the American Mathematical Society 351: 3641–3657.
  • Menninger, Karl W. Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers. — MIT Press, 1969. — ISBN ISBN 0-262-13040-8
  • Robins, Gay; Shute, Charles The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. — Dover, 1990. — ISBN ISBN 0-486-26407-6
  • Stewart, B. M. (1954). «Sums of distinct divisors». American Journal of Mathematics 76: 779–­785.
  • Stewart, I. (1992). «The riddle of the vanishing camel». Scientific American (June): 122–­124.
  • Struik, Dirk J. A Concise History of Mathematics. — Dover, 1967. — P. 20–25. — ISBN ISBN 0-486-60255-9
  • Takenouchi, T. (1921). «On an indeterminate equation». Proc. Physico-Mathematical Soc. of Japan, 3rd ser. 3: 78–92.
  • Tenenbaum, G.; Yokota, H. (1990). «Length and denominators of Egyptian fractions». Journal of Number Theory 35: 150–­156.
  • Vose, M. (1985). «Egyptian fractions». Bulletin of the London Mathematical Society 17: 21.
  • Wagon, S. Mathematica in Action. — W.H. Freeman, 1991. — P. 271–­277.
скачатьДанный реферат составлен на основе статьи из русской Википедии. Синхронизация выполнена 16.07.11 08:56:07Похожие рефераты: Дроби в Юникоде, Дроби Фарея, Цепные дроби, Египетские авиалинии, Египетские боги, Фивы Египетские, Египетские фараоны, Египетские пирамиды.

Категории: Теория чисел, История математики, Элементарная математика, Наука в Древнем Египте, Математические головоломки и досуг.

Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike.

wreferat.baza-referat.ru

Дроби в древнем Египте

Дроби в Древнем Египте Рудая Юлия Владимировна учитель математики 2016 г.

Дроби в Древнем Египте

Рудая Юлия Владимировна

учитель математики

2016 г.

Дроби в Древнем Египте В древнем Египте пользовались только простейшими дробями, у которых числитель равен единице (те, которые мы называем «долями»).

Дроби в Древнем Египте

В древнем Египте пользовались только простейшими дробями, у которых числитель равен единице (те, которые мы называем «долями»).

Дроби в Древнем Египте Математики называют такие дроби аликвотными (от лат. aliquot – несколько). Так же используется название основные дроби или единичные дроби.

Дроби в Древнем Египте

Математики называют такие дроби аликвотными (от лат. aliquot – несколько). Так же используется название основные дроби или единичные дроби.

Дроби в Древнем Египте Египтяне ставили иероглиф (ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. К примеру:

Дроби в Древнем Египте

Египтяне ставили иероглиф

(ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в священных текстах использовали линию. К примеру:

Дроби в Древнем Египте Египтяне использовали только две дроби не являющиеся долями – две трети и три четверти. Эти дроби часто встречались в вычислениях. Для них существовали специальные символы, был специальный знак и для дроби ½.

Дроби в Древнем Египте

Египтяне использовали только две дроби не являющиеся долями – две трети и три четверти. Эти дроби часто встречались в вычислениях. Для них существовали специальные символы, был специальный знак и для дроби ½.

Дроби в Древнем Египте Кроме того, египтяне использовали формы записи, основанные на иероглифе Глаз Гора (Уаджет).

Дроби в Древнем Египте

Кроме того, египтяне использовали формы записи, основанные на иероглифе Глаз Гора (Уаджет).

Дроби в Древнем Египте Для древних характерно переплетение образа Солнца и глаза. В египетской мифологии часто упоминается бог Гор, олицетворяющий крылатое Солнце и являющийся одним из самых распространенных сакральных символов.

Дроби в Древнем Египте

Для древних характерно переплетение образа Солнца и глаза. В египетской мифологии часто упоминается бог Гор, олицетворяющий крылатое Солнце и являющийся одним из самых распространенных сакральных символов.

Дроби в Древнем Египте В битве с врагами Солнца, воплощенными в образе Сета, Гор сначала терпит поражение. Сет вырывает у него Глаз — чудесное око — и разрывает его в клочья.

Дроби в Древнем Египте

В битве с врагами Солнца, воплощенными в образе Сета, Гор сначала терпит поражение. Сет вырывает у него Глаз — чудесное око — и разрывает его в клочья.

Дроби в Древнем Египте Тот — бог учения, разума и правосудия — снова сложил части глаза в одно целое, создав

Дроби в Древнем Египте

Тот — бог учения, разума и правосудия — снова сложил части глаза в одно целое, создав "здоровый глаз Гора". Изображения частей разрубленного Ока использовались при письме в Древнем Египте для обозначения дробей от 1/2 до 1/64 .

Дроби в Древнем Египте

Дроби в Древнем Египте

Дроби в Древнем Египте Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда . Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток , Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима .

Дроби в Древнем Египте

Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда . Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток , Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима .

Дроби в Древнем Египте Самый большой математический документ - папирус по руководству к вычислениям писца Ахмеса - найден в 1858 году английским коллекционером Райндом . Папирус составлен в XVII веке до нашей эры. Его длина 20 метров, ширина 30 сантиметров. Он содержит 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Дроби в Древнем Египте

Самый большой математический документ - папирус по руководству к вычислениям писца Ахмеса - найден в 1858 году английским коллекционером Райндом . Папирус составлен в XVII веке до нашей эры. Его длина 20 метров, ширина 30 сантиметров. Он содержит 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Дроби в Древнем Египте Часто встречающаяся задача из папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками; разница между каждым человеком и его соседом составляет - 1/8 меры. Средняя доля есть одна мера. Вычти одну из 10; остаток 9. Составь половину разницы; это есть 1/16. Возьми ее 9 раз. Приложи это к средней доле; вычитай для каждого лица по 1/8 меры, пока не достигнешь конца».

Дроби в Древнем Египте

Часто встречающаяся задача из папируса Ахмеса: «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками; разница между каждым человеком и его соседом составляет - 1/8 меры. Средняя доля есть одна мера. Вычти одну из 10; остаток 9. Составь половину разницы; это есть 1/16. Возьми ее 9 раз. Приложи это к средней доле; вычитай для каждого лица по 1/8 меры, пока не достигнешь конца».

Дроби в Древнем Египте Еще одна задача из папируса Ахмеса, демонстрирующая применение аликвотных дробей: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми».

Дроби в Древнем Египте

Еще одна задача из папируса Ахмеса, демонстрирующая применение аликвотных дробей: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми».

Дроби в Древнем Египте Если резать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов. А по-египетски эта задача решалась так. Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2 + 1/4 + 1/8. Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезаем пополам, два хлеба - на 4 части и один хлеб - на 8 долей, после чего каждому даём его часть.

Дроби в Древнем Египте

Если резать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов.

А по-египетски эта задача решалась так. Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2 + 1/4 + 1/8. Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезаем пополам, два хлеба - на 4 части и один хлеб - на 8 долей, после чего каждому даём его часть.

Дроби в Древнем Египте Египетские дроби продолжали использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков.

Дроби в Древнем Египте

Египетские дроби продолжали использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков.

multiurok.ru

Персональный сайт - Египетские дроби

Египетские дроби             

Первая дробь, с которой познакомились люди, была, наверное, половина. За ней последовали 1/4, 1/8 …, затем 1/3 , 1/6  … Это самые простые дроби, доли целого, называемые единичными или основными дробями. У них числитель всегда единица. Некоторые народы древности выражали любую дробь в виде суммы только основных дробей. Дроби вида 1/n, где n — натуральное число часто называют единичными. Другие названия таких дробей: основные, аликвотные (от латинского aliquot — несколько).

           В Древнем Египте нынешних обыкновенных дробей не знали. Вместо них использовались только доли, то есть дроби с числителем 1, и суммы таких дробей.

Поэтому такие дроби называют еще египетскими.

В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того, чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику.

Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4 000 лет назад имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.

    Древнеегипетские вычислители почему-то питали особое пристрастие к дробям, в числителе которых стоит единица. В Британском музее

хранится папирус, составленный писцом Ахмесом примерно за 1600-1700 лет до нашей эры. Он представляет собой собрание решений 84 задач, имеющих прикладной характер;

 эти задачи относятся к действиям с дробями, определению площади прямоугольника, треугольника, трапеции и круга (последняя принимается равной площади квадрата со стороной в 8/9 диаметра), объёма прямоугольного параллелепипеда и цилиндра; имеются также арифметические задачи на пропорциональное деление, определение соотношений между количеством зерна и получающегося из него хлеба или пива и т. д.; решение одной задачи (79-й) приводится к вычислению суммы геометрической прогрессии. Однако для решения этих задач не даётся никаких общих правил, не говоря уже о попытках каких-нибудь теоретических обобщений.

Одна из задач этого папируса — разделить 7 хлебов между 8 людьми — решается в характерном для всей египетской математики стиле: каж дому проголодавшемуся нужно дать сумму

 

долей одного хлеба, выраженных аликвотными дробями.

В большинстве случаев для представления некоторой правильной дроби в виде суммы различных египетских дробей достаточно уметь раскладывать в такую сумму всякую дробь вида 2/n. Например, зная разложения

 2 15

=

 1 10

+

 1 30

,

 

 2 25

=

 1 15

+

 1 75

,

 

 2 75

=

 1 50

+

  1  150

,

дробь 7/25 можно легко представить суммой различных египетских дробей:

 7 25

=

 1 25

+

 2 25

+

 4 25

=

 1 25

+

 1 15

+

 1 75

+

 2 15

+

 2 75

=

=

 1 10

+

 1 15

+

 1 25

+

 1 30

+

 1 50

+

 1 75

+

  1  150

.

Папирус Ахмеса предваряет таблица, в которой все дроби вида 2/n для нечетных n от 3 до 101 представлены суммами египетских дробей. Эта таблица помогала производить сложные арифметические выкладки согласно принятым канонам. По-видимому, писцы заучивали ее наизусть, так же, как сейчас школьники запоминают таблицу умножения.

Разложение произвольной дроби в сумму аликвотных дробей не единственно. Например, дробь 5/12 представлялась египтянами как сумма 1/4 и 1/6, либо как сумма 1/3 и 1/12. Правильным считался второй вариант, так как 1/3 – самая большая из египетских дробей, меньших 5/12

sir-raziapov.narod.ru

Египетские дроби — ВиКи

Египетская дробь — в математике сумма нескольких попарно различных дробей вида 1n{\displaystyle {\frac {1}{n}}} (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Пример: 12+13+116{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{16}}}.

Египетская дробь представляет собой положительное рациональное число вида a/b; к примеру, египетская дробь, записанная выше, может быть записана в виде дроби 43/48. Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби (вообще говоря, бесконечным числом способов[1]). Сумма такого типа использовалась математиками для записи произвольных дробей, начиная со времён древнего Египта до средневековья. В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики.

Древний Египет

Дополнительную информацию по данному вопросу см. в Египетская система счисления, Математика в Древнем Египте.

Египетские дроби были изобретены и впервые использованы в древнем Египте. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом в эпоху Второго переходного периода; он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Египтяне ставили иероглиф

 

(ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в иератических текстах использовали линию. К примеру:

=13{\displaystyle ={\frac {1}{3}}} 
  
=110{\displaystyle ={\frac {1}{10}}} 

У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4 (последние два знака — единственные используемые египтянами дроби, не являющиеся аликвотными), которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).

Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида 1/2k (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двухэлементных рациональных чисел. Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат (~4,785 литра), основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката.

Например, так: =1331{\displaystyle ={\frac {1}{331}}} 

При этом «рот» помещался перед всеми иероглифами.

Античность и Средневековье

Египетские дроби продолжали использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков (к примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой). Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci».

Основная тема «Liber Abaci» — вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

Алгоритм Фибоначчи

Первый дошедший до нас общий метод разложения произвольной дроби на египетские составляющие описал Фибоначчи в XIII веке. В современной записи его алгоритм можно изложить следующим образом.

1. Дробь mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}}  разлагается на два слагаемых:

mn=1⌈n/m⌉+(−n)modmn⌈n/m⌉.{\displaystyle {\frac {m}{n}}={\frac {1}{\lceil n/m\rceil }}+{\frac {(-n)\,{\bmod {\,}}m}{n\lceil n/m\rceil }}.} 

Здесь ⌈n/m⌉{\displaystyle \lceil n/m\rceil }  — частное от деления n на m, округлённое до целого в бо́льшую сторону, а (−n)modm{\displaystyle (-n)\,{\bmod {\,}}m}  — (положительный) остаток от деления -n на m.

2. Первое слагаемое в правой части уже имеет вид египетской дроби. Из формулы видно, что числитель второго слагаемого строго меньше, чем у исходной дроби. Аналогично, по той же формуле, разложим второе слагаемое и продолжим этот процесс, пока не получим слагаемое с числителем 1.

Метод Фибоначчи всегда сходится после конечного числа шагов и даёт искомое разложение. Пример:

715=13+215=13+18+1120{\displaystyle {\frac {7}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {2}{15}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{120}}} 

Однако полученное таким методом разложение может оказаться не самым коротким. Пример его неудачного применения:

5121=125+1757+1763309+1873960180913+11527612795642093418846225,{\displaystyle {\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{757}}+{\frac {1}{763309}}+{\frac {1}{873960180913}}+{\frac {1}{1527612795642093418846225}},} 

в то время как более совершенные алгоритмы приводят к разложению:

5121=133+1121+1363.{\displaystyle {\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}.} 

xn--b1aeclack5b4j.xn--j1aef.xn--p1ai