Математика шумеров (1 фото). Математика древнего шумера

Математика Шумеров — Наука и образование

Шумеры пользовались шести-десятеричной системой счисления. Для изображения чисел использовались всего два знака: «клин» обозначал 1; 60; 3600 и дальнейшие степени от 60; «крючок» — 10; 60 х 10; 3600 х 10 и т. д. В основу цифровой записи был положен позиционный принцип, но если Вы , исходя из основы счисления, думаете, что числа в Шумере отображали как степени 60-ти, то ошибаетесь.

За основание в Шумерской системе берется не 10, а 60, но затем это основание странным образом заменяется числом 10, затем, 6, а затем снова на 10 и т.д. И таким образом, позиционные числа выстраиваются в следующий ряд:

1, 10, 60, 600, 3600, 36 000, 216 000, 2 160 000, 12 960 000.

Эта громоздкая шестидесятеричная система позволяла шумерам вычислять дроби и перемножать числа до миллионов, извлекать корни и возводить в степень. Во многих отношениях эта система даже превосходит применяющуюся нами в настоящее время десятичную систему. Во-первых, число 60 имеет десять простых делителей, в то время как 100 — всего 7. Во-вторых, это единственная система, идеально подходящая для геометрических вычислений, и именно этим объясняется то, что она продолжает применяться и в наше время отсюда, например, деление круга на 360 градусов.

Мы редко осознаем, что не только нашей геометрией, но также и современному способу исчисления времени мы обязаны шумерской системе счисления с шестидесятеричным основанием. Деление часа на 60 секунд было совсем не произвольным — оно основывается на шестидесятеричной системе. Отголоски шумерской системы счисления сохранились и в делении суток на 24 часа, года на 12 месяцев, фута на 12 дюймов, и в существовании дюжины как меры количества. Они обнаруживаются также в современной системе счета, в которой выделяются отдельно числа от 1 до 12, а затем следуют числа типа 10+3, 10+4 и т.д.

Теперь нас уже не должно удивлять, что зодиак также был еще одним изобретением шумеров, изобретением, которое в дальнейшем было усвоено другими цивилизациями. Но шумеры не пользовались знаками зодиака, привязывая их к каждому месяцу, как мы делаем сейчас в гороскопах. Они использовали их в чисто астрономическом смысле — в смысле отклонения земной оси, движение которой делит полный цикл прецессии в 25 920 лет на 12 периодов по 2160 лет. При двенадцатимесячном движении Земли по орбите вокруг Солнца картина звездного неба, образующего большую сферу в 360 градусов, меняется. Понятие зодиака возникло путем разделения этой окружности на 12 равных сегментов (сферы зодиака) по 30 градусов каждый. Затем звезды в каждой группе объединялись в созвездия, и каждое из них получало свое наименование, соответствующее современным их наименованиям. Таким образом, не остается сомнения в том, что впервые понятие зодиака использовалось в Шумере. Начертания знаков зодиака (представляющие воображаемые картины звездного неба), а также произвольное деление их на 12 сфер доказывают, что соответствующие знаки зодиака, применяющиеся в других, более поздних культурах, не могли появиться в результате самостоятельного развития.

Исследования шумерской математики, к большому удивлению ученых, показали, что их числовая система тесно связана с прецессионным циклом. Необычный подвижной принцип шумерской шестидесятеричной системы счисления акцентирует внимание на числе 12 960 000, что в точности равняется 500 больших прецессионных циклов, совершающихся за 25 920 лет. Отсутствие каких бы то ни было иных, кроме астрономических, возможных приложений для произведений чисел 25 920 и 2160 может означать лишь одно — эта система разработана специально для астрономических целей.

Похоже на то, что ученые уклоняются от ответа на неудобный вопрос, который заключается в следующем: каким образом шумеры, чья цивилизация длилась всего 2 тысячи лет, могли заметить и зафиксировать цикл небесных движений, продолжающийся 25 920 лет? И почему начало их цивилизации относится к середине периода между сменами зодиака? Не свидетельствует ли это о том, что они унаследовали астрономию от богов?

education.uaset.com

История начинается в Шумере - ДЛЯ ВСЕХ И ОБО ВСЕМ

Шумеры – это древнейшая ближневосточная цивилизация, существовавшая в Южном Двуречье районе нижнего течения Евфрата и Тигра на юге современного государства Ирак в конце 4 – начале 2 тысячелетия до н. э.

Появление Шумеров

В период 4 — 3-го тысячелетия до нашей эры расцвели первые города-государства древнего Шумера. Мы не знаем откуда пришли  Шумеры. Свои поселения они строили на искусственных земляных насыпях. Осушая окружающие болота, они создали древнейшую систему искусственного орошения. Как указывают находки в Кише, они пользовались микролитическими орудиями.

Наиболее раннее поселение, открытое в Южной Месопотамии, находилось около Эль-Обеида (близ Ура), на речном острове, который возвышался над болотистой равниной. Население, жившее здесь, занималось охотой и рыболовством, но уже переходило к более прогрессивным видам хозяйства: к скотоводству и земледелию.

Культура Эль-Обеида существовала очень долго. Своими корнями она уходит в древние местные культуры Верхней Месопотамии. Однако уже появляются и первые элементы шумерийской культуры.  В древнейших общинах южной части Месопотамии в третьем тысячелетии до н. э. почти все производившиеся здесь продукты потреблялись на месте и царило натуральное хозяйство.

Широко использовалась глина и тростник. В древнейшие времена из глины лепили сосуды — сначала от руки, а впоследствии на специальном гончарном круге. Наконец, из глины делали в большом количестве важнейший строительный материал — кирпич, который приготовлялся с примесью камыша и соломы.

Этот кирпич иногда просушивался на солнце, а иногда обжигался в специальной печи. К началу третьего тысячелетия до н. э., относятся древнейшие здания, построенные из своеобразных крупных кирпичей, одна сторона которых образует плоскую поверхность, а другая — выпуклую.

Крупный переворот в технике произвело открытие металлов. Одним из первых металлов, известных народам южной части Месопотамии, была медь, название которой встречается как в шумерийском, так и в аккадском языках. Несколько позднее появилась бронза, которая делалась из сплава меди со свинцом, а впоследствии — с оловом.

Последние археологические открытия указывают на то, что уже в середине третьего тысячелетия до н. э. в Месопотамии было известно железо, очевидно, метеоритное.

Следующий период шумерийской архаики носит название периода Урука по месту наиболее важных раскопок. Для этой эпохи характерен новый вид керамики. Глиняные сосуды, снабжённые высокими ручками и длинным носиком, возможно, воспроизводят древний металлический прототип.

Сосуды сделаны на гончарном круге; однако по своей орнаментации они гораздо скромнее, чем раскрашенная керамика времени Эль-Обеида. Однако, хозяйственная жизнь  и культура получают в эту эпоху своё дальнейшее развитие.

Появляется необходимость в составлении документов. Надписи насчитывают в общей сложности до 1500 картинных знаков, из которых постепенно выросла древнешумерийская письменность.

После шумеров осталось огромное количество глиняных клинописных табличек. Самые ранние надписи относятся к 2900 году до Р.Х. и содержат хозяйственные записи.

Исследователи жалуются, что Шумеры оставили после себя огромное количество «хозяйственных»  записей  и «списков богов» но так и не удосужились записать «философскую основу» своей системы верований. Поэтому наши знания лишь интерпретация  «клинописных» источников, в большинстве своём переведённых и переписанных жрецами более поздних культур, например  Эпоса о Гильгамеше или поэмы «Энума элиш» датируемых началом II-го тысячелетия до нашей эры.

Так что, возможно, мы читаем своеобразный дайджест, подобный адаптивному варианту библии для современных детей. Особенно учитывая, что большинство текстов скомпилированы из нескольких отдельных источников ( из-за плохой сохранности).

Имущественное расслоение, происходившее внутри сельских общин, приводило к постепенному распаду общинного строя. Рост производительных сил, развитие торговли и рабства, наконец, грабительские войны способствовали выделению из всей массы общинников небольшой группы рабовладельческой аристократии.

Древнейшие указания на существование рабовладельческих государств на территории Месопотамии относятся к началу третьего тысячелетия до н. э. Судя по документам этой эпохи, это были очень маленькие государства, вернее, первичные государственные образования, во главе которых стояли цари.

В княжествах, потерявших свою независимость, правили высшие представители рабовладельческой аристократии, носившие древний полужреческий титул «цатэси” (эпси). Экономической основой этих древнейших рабовладельческих государств был централизованный в руках государства земельный фонд страны.

Общинные земли, обрабатывавшиеся свободными крестьянами, считались собственностью государства, и население их было обязано нести в пользу последнего всякого рода повинности.

Разобщённость городов-государств создало проблему с точной датировка событий в Древнем Шумере. Дело в том, что каждый город-государство имел свои летописи. А дошедшие до нас списки царей, в основном, написаны не ранее аккадского периода и представляют собой смесь обрывков различных «храмовых списков»  что привело к путанице и ошибкам.

После своего падения шумеры оставили то, что подхватило множество других народов, пришедших на эту землю — Религию.

Наши учителя

Один из крупнейших экспертов по Шумеру, профессор Сэмюел Ноа Крамер, в своей книге «История начинается в Шумере»  перечислил 39 предметов, в которых шумеры были первооткрывателями.

Помимо первой системы письменности, о чем мы уже говорили, он включил в этот список колесо, первые школы, первый двухпалатный парламент, первых историков, первый «альманах земледельца»; в Шумере впервые возникли космогония и космология, появился первый сборник пословиц и афоризмов, впервые велись литературные дебаты; здесь появился первый книжный каталог, получили хождение первые.

Впервые стали вводиться налоги, были приняты первые законы и проведены социальные реформы, появилась медицина, и впервые делались попытки добиться мира и гармонии в обществе.

Медицина Шумеров

В области медицины у шумеров с самого начала были очень высокие стандарты. В найденной Лайярдом в Ниневии библиотеке Ашшурбанипала был четкий порядок, в ней был большой медицинский отдел, в котором насчитывались тысячи глиняных табличек. Все медицинские термины основывались на словах, заимствованных из шумерского языка.

Медицинские процедуры описывались в специальных справочниках, где содержались сведения о гигиенических правилах, об операциях, например об удалении катаракты, о применении спирта для дезинфекции при хирургических операциях.

Шумерская медицина отличалась научным подходом к постановке диагноза и предписанию курса лечения, как терапевтического, так и хирургического.

Научные познания шумеров

Шумеры были превосходными путешественниками и исследователями — им приписывается также изобретение первых в мире судов. В одном аккадском словаре шумерских слов содержалось не менее 105 обозначений различных типов судов — по их размерам, назначению и по виду грузов.

Широта ассортимента этих товаров поразительна — начиная от золота, серебра, меди — и до диорита, сердолика и кедра. В некоторых случаях эти материалы перевозились более чем за тысячи миль.

Первая печь для обжига кирпича также была построена в Шумере. Применение такой большой печи позволяло обжигать изделия из глины, что придавало им особую прочность за счет внутреннего напряжения, без отравления воздуха пьлью и золой.

Такая же технология применялась для выплавки металлов из руды, например меди — для этого руда нагревалась до температуры свыше 1500 градусов по Фаренгейту в закрытой печи с малой подачей кислорода.

Исследователи древней металлургии были крайне удивлены тем, как быстро шумеры выучились методам обогащения руды, плавки металла и литья. Эти передовые технологии были освоены ими всего лишь несколько столетий спустя после возникновения шумерской цивилизации.

Еще более поразительным было то, что шумеры овладели способами получения сплавов — процессом, при помощи которого различные металлы химически соединяются при нагреве в печи.

Шумеры научились производить бронзу — твердый, но хорошо поддающийся обработке металл, который изменил весь ход истории человечества.

Умение сплавлять медь с оловом было величайшим достижением по трем причинам. Во-первых, было необходимо подобрать очень точное соотношение меди и олова (анализ шумерской бронзы показал оптимальное соотношение — 85% меди на 15% олова).

Во-вторых, в Месопотамии совсем не было олова.( В отличии , например, от Тиауанако )

В-третьих, олово вообще не встречается в природе в натуральном виде.  Для его извлечения, из руды — оловянного камня — необходим довольно сложный процесс. Это не такое дело, которое можно открыть случайно.

У шумеров было около тридцати слов для обозначения различных видов меди разного качества, для обозначения же олова они пользовались словом AN.NA, что означает буквально «Небесный камень» — что многие рассматривают как свидетельствует о том, что шумерская технология была даром богов.

Глиняные таблички Шумеров

Были найдены тысячи глиняных табличек, содержавших сотни астрономических терминов. В некоторых из этих табличек содержались математические формулы и астрономические таблицы, при помощи которых шумеры могли предсказывать солнечное затмение, различные фазы Луны и траектории движения планет.

Изучение древней астрономии обнаружило замечательную точность этих таблиц (известных под названием эфемерид). Никто не знает, каким образом они были рассчитаны, но мы можем задаться вопросом — зачем это было нужно?

«Шумеры измеряли восход и закат видимых планет и звезд относительно земного горизонта, пользуясь той же гелиоцентрической системой, которая применяется сейчас. Мы переняли от них также разделение небесной сферы на три сегмента — северный, центральный и южный (соответственно у древних шумеров — «путь Энлиля», «путь Ану» и «путь Эа»).

В сущности, все современные понятия сферической астрономии, включая полную сферическую окружность в 360 градусов, зенит, горизонт, оси небесной сферы, полюса, эклиптику, равноденствие и пр. — все это внезапно возникло в Шумере.

Все познания шумеров относительно движения Солнца и Земли были объединены в созданном ими первом в мире календаре созданном  в городе Ниппуре— солнечно-лунном календаре.

Шумеры считали 12 лунных месяцев, составлявших приблизительно 354 дня, а затем прибавляли еще 11 дополнительных дней, чтобы получить полный солнечный год. Эта процедура, называемая интеркаляцией, проделывалась ежегодно, пока, через 19 лет, солнечный и лунный календарь не совмещались.

Шумерский календарь был составлен очень точно, чтобы ключевые дни (например, Новый год всегда приходился на день весеннего равноденствия) . Удивительно то, что такая развитая астрономическая наука совсем не была необходима этому только что народившемуся обществу.

Вообще математика шумеров имела «геометрические» корни и очень необычна.

Математика Шумеров

Шумеры  пользовались шестидесятеричной системой счисления. Для изображения чисел использовались всего два знака: «клин» обозначал 1; 60; 3600 и дальнейшие степени от 60; «крючок» — 10; 60 х 10; 3600 х 10 и т. д.

В основу цифровой записи был положен позиционный принцип, но если Вы , исходя из основы счисления, думаете, что  числа в Шумере отображали как степени 60-ти, то  ошибаетесь.

За основание в Шумерской системе берется не 10, а 60, но затем это основание странным образом заменяется числом 10, затем, 6, а затем снова на 10 и т.д. И таким образом, позиционные числа выстраиваются в следующий ряд: 1, 10, 60, 600, 3600, 36 000, 216 000, 2 160 000, 12 960 000.

Эта громоздкая шестидесятеричная система позволяла шумерам вычислять дроби и перемножать числа до миллионов, извлекать корни и возводить в степень.

Во многих отношениях эта система даже превосходит применяющуюся нами в настоящее время десятичную систему. Во-первых, число 60 имеет десять простых делителей, в то время как 100 — всего 7.

Во-вторых, это единственная система, идеально подходящая для геометрических вычислений, и именно этим объясняется то, что она продолжает применяться и в наше время  отсюда, например, деление круга на 360 градусов.

Мы редко осознаем, что не только нашей геометрией, но также и современному способу исчисления времени мы обязаны шумерской системе счисления с шестидесятеричным основанием.

Деление часа на 60 секунд было совсем не произвольным — оно основывается на шестидесятеричной системе. Отголоски шумерской системы счисления сохранились и в делении суток на 24 часа, года на 12 месяцев, фута на 12 дюймов, и в существовании дюжины как меры количества.

Они обнаруживаются также в современной системе счета, в которой выделяются отдельно числа от 1 до 12, а затем следуют числа типа 10+3, 10+4 и т.д.

Теперь нас уже не должно удивлять, что зодиак также был еще одним изобретением шумеров, изобретением, которое в дальнейшем было усвоено другими цивилизациями.

Но шумеры не пользовались знаками зодиака, привязывая их к каждому месяцу, как мы делаем сейчас в гороскопах. Они использовали их в чисто астрономическом смысле — в смысле отклонения земной оси, движение которой делит полный цикл прецессии в 25 920 лет на 12 периодов по 2160 лет.

При двенадцатимесячном движении Земли по орбите вокруг Солнца картина звездного неба, образующего большую сферу в 360 градусов, меняется.

Понятие зодиака возникло путем разделения этой окружности на 12 равных сегментов (сферы зодиака) по 30 градусов каждый. Затем звезды в каждой группе объединялись в созвездия, и каждое из них получало свое наименование, соответствующее современным их наименованиям.

Знания, полученные от богов

Таким образом, не остается сомнения в том, что впервые понятие зодиака использовалось в Шумере. Начертания знаков зодиака (представляющие воображаемые картины звездного неба), а также произвольное деление их на 12 сфер доказывают, что соответствующие знаки зодиака, применяющиеся в других, более поздних культурах, не могли появиться в результате самостоятельного развития.

Исследования шумерской математики, к большому удивлению ученых, показали, что их числовая система тесно связана с прецессионным циклом. Необычный подвижной принцип шумерской шестидесятеричной системы счисления акцентирует внимание на числе 12 960 000, что в точности равняется 500 больших прецессионных циклов, совершающихся за 25 920 лет. Отсутствие каких бы то ни было иных, кроме астрономических, возможных приложений для произведений чисел 25 920 и 2160 может означать лишь одно — эта система разработана специально для астрономических целей.

Похоже на то, что ученые уклоняются от ответа на неудобный вопрос, который заключается в следующем: каким образом шумеры, чья цивилизация длилась всего пару тысяч лет, могли заметить и зафиксировать цикл небесных движений, продолжающийся 25 920 лет? Не свидетельствует ли это о том, что они унаследовали астрономию от богов, о которых они упоминали в своем эпосе?

via http://myevolution.ru

p-i-f.livejournal.com

История математики: шумерская арифметика | Путешествия во времени

Когда в течение последнего столетия ученые начали постигать письменную систему счета в древнем месопотамском мире двух последних тысячелетий до нашей эры, они открыли в ней две отличительные черты. Прежде всего, месопотамцы воспользовались уникальной системой, в основе которой было положено число 60. Во-вторых, они отличаются от других известных древних народов употреблением позиционной системы счета, как это делаем мы, для выражения чисел на письме. Были предложены самые разные объяснения этих двух странных черт. Некоторые думали, что они могли иметь какое-то отношение к шумерскому календарю; другие — что они были обязаны своему существованию удобству числа 60, такому богатому на делители; третьи — что они были порождены психологическими особенностями шумерского народа. Теперь мы, однако, знаем, что ответ лежит в развитии месопотамской письменности или, точнее, в зависимости письменности от счетоводства (ведь это факт, что первоначальным назначением письменности было счетоводство) и мы имеем дело со следствием тысячелетнего процесса.

Поскольку месопотамцы использовали для ведения счетов глиняные материалы, фактически неподвластные разрушению, мы можем прослеживать развитие письменности в Месопотамии (и в соседнем Сузи) еще в конце четвертого и в начале третьего тысячелетия. Сначала счетоводство проводили, пользуясь пустыми черепичными шарами с мелкими предметными знаками разных размеров и разной формы внутри них и отпечатками цилиндрических печатей на их поверхности. Форма и размер предметных знаков представляли объект и (или) применяемую единицу счета или меры. Отпечатки печати на внешней поверхности указывали то на владельца, то на участников заключенного соглашения, то на чиновника, осуществляющего контроль.

В течение следующих нескольких сотен лет эта система развилась дальше. Во-первых, перед тем, как прятать предметные знаки в шары, на ее поверхности стали делать их отпечатки; во-вторых, со временем отказались от самых предметных знаков, оставив только их отпечатки на поверхности теперь уже сплющенного шара или таблички; и наконец, для того, чтобы сделать отметки на поверхности, начали вместо предметных знаков пользоваться тростью.

Около 3200 года до нашей эры система письменности так развилась, что уже пользовалась целым набором знаков (примерно тридцатью числовыми и восьмисот нечисловыми) для обозначения предметов счета и географических названий и названий, связанных с официальной сферой жизни.

В Месопотамии этого периода (3200-2800 годы до н.э.) пользовались множеством способов или систем счета. Одна предназначалась для счета дискретных объектов и длины, другая — для измерения поверхностей, третья — для определения количества зерна (разбита на многочисленные подсистемы для разных сортов зерна!), третья — для мер времени. Таких метрологических систем насчитывалось, вероятно, целая дюжина.Чтобы выразить число в любой из этих систем, применяли аддитивную технику; другими словами, числовой знак использовали столько раз, сколько было единиц, представленных этим знаком.

Но при всем обилие систем набор числовых знаков был мал. Действительно, все знаки по сути происходили от четырех разных знаков, чертежей тростью: больших и малых кружочков и больших и малых зубцов. К тому же эти знаки использовались только в определенных комбинациях: то особняком (четыре знака), то в сообщениях кружочек зубец того же размера или кружочек + кружочек двух разных размеров — получалось всего-навсего семь знаков.

Именно поэтому эту малость знаков употребляли по-разному в разных системах: маленький кружок равнялся 10 маленьким зубцам в системе, предназначенной для мер дискретных объектов, 6 маленьких зубцов в системе, предназначенной для измерения объемов, и 18 в системе, предназначенной для измерений поверхности. «Числовые знаки», следовательно, не означают действительной величины, а только ту, которой наделяет их система, где они выступают. К тому же соотношение между знаками, размещенными в последовательном порядке, — их «относительные величины», — варьируются от одной системы к другой. Следовательно, нет общей идеи числа, есть только способы счета.

В течение 500 лет, начиная с 3200 до н.э., сфера использования текстов в Месопотамии остается очень узкой. Это преимущественно счет из чисел, заимствованных из разных метрологических систем и обогащенных знаками объектов, подлежащих этому счету, а также географических названий и титулов должностных лиц. Есть также мизерное количество школьных текстов, реестров знаков и слов, как числовых, так и нечисловых, которые молодой ученик писца должен изучать, чтобы овладеть своим ремеслом. Основополагающую роль в писарской науке играло постижение основ счетоводства. Мнение, что письменность может «уклониться» от счетоводства и использоваться для записи языка, — такая естественная в нашем восприятии роль, — вызревало очень медленно: на это ушло аж 500 лет.

ДВОЙНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ

Где-то около 2600 года до н.э. все более крепчавшие города-государства, образовывающие древний Шумер, достигли достаточных размеров и достаточного богатства для того, чтобы письменность, до сих пор сосредоточенная лишь в немногих местах, получила всеобщее распространение по всей южной Месопотамии.

Одной из реформ, проведенных в этот период консолидации, была реформа метрологических систем. Число таких систем сократилось от двенадцати до считанного количества: одна — мер дискретных объектов и мер длины, одна — площади и одна — мер объема. К этим трем присоединилась новая система: мер веса. Вместо того, чтобы создавать новые числа для определения величин этой системы, было решено пользоваться числами из системы, применяемой для измерения дискретных объектов, сопровождая те числа названиями единиц веса. Такая система оказалась чрезвычайно практичной — и названия единиц веса и их относительные величины были заимствованы метрологической системой мер поверхности и использовались в ней для определения малых площадей.

Эта идея — называть единицы — была одной из двух важнейших новаций тогдашнего периода, и сфера ее влияния не ограничивалась только системой веса. Даже крупные единицы длины или объема теперь получили себе названия. Писец нарисовал числовой знак + «бурь» для мер поверхности, а также числовой знак + «ниндан» для мер длины. Конечно, поскольку названия единиц писаны, сразу можно увидеть, приведенную разновидность мер. Месопотамские переписчики привели к все более широкому использованию эту новую систему.

Другое важное изменение в этот период связано с написанием цифр. Когда речь идет о площади, знак (А) заступает место прежнего (В), внешнее из двух концентрических кругов заменяется четырьмя перекрещенными клинообразном палочками. Это только один пример типичного в тот период все более широкого внедрения клинописи в письменной системе, включая числовые знаки. Искривленные резные линии древней формы письма, которые было нелегко оставлять на глине, все чаще заменялись быстрыми и простыми знаками, написанными тростью. Развитие письменной системы, смутно наблюдавшееся еще в предыдущий период, в этот период бурно прогрессировало, и на конец тысячелетия, по сути, вытеснило старые округлые числа.

МЕТКИ ПЕРЕПИСЧИКОВ

Период с 2350 до 2200 г. до н.э. сказался образованием первой в Месопотамии великой империи аккадцев, говоривших семитским языком. Новая централизованная администрация Аккадской империи, в расцвете своего могущества простиралась от Персидского залива до Сирии и Ливана и играла решающую роль в метрологии и письменности, она же ввела две новации.

Системы единиц, унаследованные от предыдущего периода, были рационализированы и отсортированы таким образом, чтобы они как-то соотносились между собой. Хотя сложность древних способов счета никогда не устранялась полностью, соотношение единиц тяготело к стабилизации вокруг постоянных величин. Кроме того, числовая система мер дискретных объектов теперь стала широко прикладываться к мерам, связанным с употреблением названий для различных единиц.

В то же время древние числа, такие как [С] и [Д] были заменены [Е] и [И7]. Долгое наступление клинописи не прекращалось. Эти изменения, продиктованные необходимостью наиболее эффективно выполнять все большее число бюрократических задач в аккадской империи, было палкой о двух концах. Разумеется, новые клинообразные числа писать было проще и быстрее, чем старые округлые, но скорость обходится дорого. Разница между маленькой единицей и единицей в шестьдесят раз больше была совсем незначительной — она определялась немного большим размером «головки» на конце обычной вертикальной черты. Поскольку легко можно было перепутать, например, числа 61 и 2, когда быстро пишешь (и читаешь), возникала острая проблема двусмысленности. Решение этой проблемы, совершенное месопотамскими состояло как раз в том, чтобы ликвидировать такую двусмысленность, создав позиционную систему.

РОЖДЕНИЯ ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЫ СЧЕТА

После периода руины, вызванной падением аккадской империи, в Месопотамии снова было заложено централизованное государство; город государство Ур успешно основал новую империю, так называемую Третью династию Ур, или Ур III.

Среди более 100 000 текстов этого периода один оставил нам след технической и концептуальной революции; имевшей место во времена Ура III, и в предыдущую аккадскую эпоху. Этот текст со счетами, связанными с доставкой серебра, вполне обычный, за исключением одной детали: переписчик забыл стереть математические подсчеты, сделанные при составлении текста. Запись подсчетов показывает нам, что, по крайней мере, во времена Ура III, уже имела место позиционная система с положенным в ее основу числом 60. В первых четырех строках переписчик записал вес четырех отдельных партий серебра, прибегнув к традиционной шестидесятеричной системе счета. В такой системе каждое место представляет степень от 60, а числа на каждом из них образуют последовательный ряд от 1 до 59.

Для образования письменных знаков этих 59 цифр используются первые два знака теперь уже полностью клинописной системы мер дискретных объектов: клин для величины 10 и палочка для 1. Пустое пространство, появляющееся в числе, служит как месопотамский «ноль». В последней строке писец переводит сумму четырех записей в традиционную систему мер веса.

Как видно из этого примера, вышеупомянутая двусмысленность чисел 61 и 2 легко устраняется, когда перейти на такую систему. Нет больше никакой разницы в написании знаков, образующих, скажем, числа 11 и 61. Оба числа дважды пользуются тем же знаком. Разница между числами передается исключительно пробелом между ними, то есть предоставлением значения тому, как размещены два знака друг относительно друга. Так в месопотамской математике родилась позиционная система. Система эта была шестидесятеричная; месопотамцы предпочли именно ей из всех, что имели к своим услугам.

Поэтому к месопотамской шестидесятеричной позиционной системе вела не психологическая особенность шумерцев с аккадцами, не мистический и религиозный ритуал и не осложненный математический критерий делимости. Это скорее два одновременных процесса, подталкиваемые экономическими и социальными потребностями все более централизованного государства, функционировавшего в течение тысячелетнего периода — рост доверия к числам, заимствованным из простой метрологической системы и все большее расширение сферы применения клинописи и неизбежный риск двусмысленности в написании цифр, — взаимодействуя, создали разновидность числовой системы, которой суждено было жить в Месопотамии в течение следующих 2000 лет. Как мы видели, то все большее доминирование одной специфической метрологической системы с ее специфическим выбором относительных величин, дало жизнь числовой системе, в основе которой лежит число 60, и это расширение сферы применения клинописи породило позиционную систему счета.

В этом, пожалуй, самое важное неожиданное последствие этих двух процессов. Те же числовые знаки могли использоваться — и использовались — для написания цифр в вычислениях всех метрологических систем. Эта новая система не была привязана к одному традиционному способу счета; числа приобрели способность «свободно плавать» и разрыв между числом и мерой стал полнейшим. Конец третьего тысячелетия до н.э. стал свидетелем рождения концепции числа, отвлеченного от любой отдельной единицы.

Автор: Джеймс Риттер.

P. S. Старинные летописи рассказывают: А вообще развитие математического мышления помимо всего прочего повышает способности человека к изучению иностранных языков, даже если вы собрались английский язык в Химках изучать, склонность к математике сможет вам в этом помочь.

travel-in-time.org

Математика шумеров (из Сети)

Поскольку Володя упоминул о математике шумеров- я кое-что нашла-правда, сайт какой-то....с наездами на науку- хотя и объявил себя археологическим...

Математика Шумеров.

Шумеры пользовались шестидесятеричной системой счисления. Для изображения чисел использовались всего два знака: «клин» обозначал 1; 60; 3600 и дальнейшие степени от 60; «крючок» — 10; 60 х 10; 3600 х 10 и т. д. В основу цифровой записи был положен позиционный принцип, но если Вы , исходя из основы счисления, думаете, что числа в Шумере отображали как степени 60-ти, то ошибаетесь.

За основание в Шумерской системе берется не 10, а 60, но затем это основание странным образом заменяется числом 10, затем, 6, а затем снова на 10 и т.д. И таким образом, позиционные числа выстраиваются в следующий ряд:

1, 10, 60, 600, 3600, 36 000, 216 000, 2 160 000, 12 960 000.

Эта громоздкая шестидесятеричная система позволяла шумерам вычислять дроби и перемножать числа до миллионов, извлекать корни и возводить в степень. Во многих отношениях эта система даже превосходит применяющуюся нами в настоящее время десятичную систему. Во-первых, число 60 имеет десять простых делителей, в то время как 100 — всего 7. Во-вторых, это единственная система, идеально подходящая для геометрических вычислений, и именно этим объясняется то, что она продолжает применяться и в наше время отсюда, например, деление круга на 360 градусов.

Мы редко осознаем, что не только нашей геометрией, но также и современному способу исчисления времени мы обязаны шумерской системе счисления с шестидесятеричным основанием. Деление часа на 60 секунд было совсем не произвольным — оно основывается на шестидесятеричной системе. Отголоски шумерской системы счисления сохранились и в делении суток на 24 часа, года на 12 месяцев, фута на 12 дюймов, и в существовании дюжины как меры количества. Они обнаруживаются также в современной системе счета, в которой выделяются отдельно числа от 1 до 12, а затем следуют числа типа 10+3, 10+4 и т.д.

Теперь нас уже не должно удивлять, что зодиак также был еще одним изобретением шумеров, изобретением, которое в дальнейшем было усвоено другими цивилизациями. Но шумеры не пользовались знаками зодиака, привязывая их к каждому месяцу, как мы делаем сейчас в гороскопах. Они использовали их в чисто астрономическом смысле — в смысле отклонения земной оси, движение которой делит полный цикл прецессии в 25 920 лет на 12 периодов по 2160 лет. При двенадцатимесячном движении Земли по орбите вокруг Солнца картина звездного неба, образующего большую сферу в 360 градусов, меняется.

Понятие зодиака возникло путем разделения этой окружности на 12 равных сегментов (сферы зодиака) по 30 градусов каждый. Затем звезды в каждой группе объединялись в созвездия, и каждое из них получало свое наименование, соответствующее современным их наименованиям. Таким образом, не остается сомнения в том, что впервые понятие зодиака использовалось в Шумере. Начертания знаков зодиака (представляющие воображаемые картины звездного неба), а также произвольное деление их на 12 сфер доказывают, что соответствующие знаки зодиака, применяющиеся в других, более поздних культурах, не могли появиться в результате самостоятельного развития.

Исследования шумерской математики, к большому удивлению ученых, показали, что их числовая система тесно связана с прецессионным циклом. Необычный подвижной принцип шумерской шестидесятеричной системы счисления акцентирует внимание на числе 12 960 000, что в точности равняется 500 больших прецессионных циклов, совершающихся за 25 920 лет. Отсутствие каких бы то ни было иных, кроме астрономических, возможных приложений для произведений чисел 25 920 и 2160 может означать лишь одно — эта система разработана специально для астрономических целей.

subscribe.ru

Математика шумеров - История начинается в Шумере

За основание в Шумерской системе берется не 10, а 60, но затем это основание странным образом заменяется числом 10, затем, 6, а затем снова на 10 и т.д. И таким образом, позиционные числа выстраиваются в следующий ряд:

1, 10, 60, 600, 3600, 36 000, 216 000, 2 160 000, 12 960 000.

Эта громоздкая шестидесятеричная система позволяла шумерам вычислять дроби и перемножать числа до миллионов, извлекать корни и возводить в степень. Во многих отношениях эта система даже превосходит применяющуюся нами в настоящее время десятичную систему. Во-первых, число 60 имеет десять простых делителей, в то время как 100 — всего 7. Во-вторых, это единственная система, идеально подходящая для геометрических вычислений, и именно этим объясняется то, что она продолжает применяться и в наше время отсюда, например, деление круга на 360 градусов.

Мы редко осознаем, что не только нашей геометрией, но также и современному способу исчисления времени мы обязаны шумерской системе счисления с шестидесятеричным основанием. Деление часа на 60 секунд было совсем не произвольным — оно основывается на шестидесятеричной системе. Отголоски шумерской системы счисления сохранились и в делении суток на 24 часа, года на 12 месяцев, фута на 12 дюймов, и в существовании дюжины как меры количества. Они обнаруживаются также в современной системе счета, в которой выделяются отдельно числа от 1 до 12, а затем следуют числа типа 10+3, 10+4 и т.д.

Теперь нас уже не должно удивлять, что зодиак также был еще одним изобретением шумеров, изобретением, которое в дальнейшем было усвоено другими цивилизациями. Но шумеры не пользовались знаками зодиака, привязывая их к каждому месяцу, как мы делаем сейчас в гороскопах. Они использовали их в чисто астрономическом смысле — в смысле отклонения земной оси, движение которой делит полный цикл прецессии в 25 920 лет на 12 периодов по 2160 лет. При двенадцатимесячном движении Земли по орбите вокруг Солнца картина звездного неба, образующего большую сферу в 360 градусов, меняется. Понятие зодиака возникло путем разделения этой окружности на 12 равных сегментов (сферы зодиака) по 30 градусов каждый. Затем звезды в каждой группе объединялись в созвездия, и каждое из них получало свое наименование, соответствующее современным их наименованиям. Таким образом, не остается сомнения в том, что впервые понятие зодиака использовалось в Шумере. Начертания знаков зодиака (представляющие воображаемые картины звездного неба), а также произвольное деление их на 12 сфер доказывают, что соответствующие знаки зодиака, применяющиеся в других, более поздних культурах, не могли появиться в результате самостоятельного развития.

Исследования шумерской математики, к большому удивлению ученых, показали, что их числовая система тесно связана с прецессионным циклом. Необычный подвижной принцип шумерской шестидесятеричной системы счисления акцентирует внимание на числе 12 960 000, что в точности равняется 500 больших прецессионных циклов, совершающихся за 25 920 лет. Отсутствие каких бы то ни было иных, кроме астрономических, возможных приложений для произведений чисел 25 920 и 2160 может означать лишь одно — эта система разработана специально для астрономических целей.

Похоже на то, что ученые уклоняются от ответа на неудобный вопрос, который заключается в следующем: каким образом шумеры, чья цивилизация длилась всего 2 тысячи лет, могли заметить и зафиксировать цикл небесных движений, продолжающийся 25 920 лет? И почему начало их цивилизации относится к середине периода между сменами зодиака? Не свидетельствует ли это о том, что они унаследовали астрономию от богов?

fishki.net

SATOR - Арифметика в Шумере

Категории раздела Календарь «  Июль 2018  » Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс             1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 Статистика Онлайн всего: 1 Гостей: 1 Пользователей: 0

Арифметика в Шумере Истоки возникновения позиционной системы счисления в Древней Месопотамии ДЖЕЙМС РИТТЕР, американский ученый преподает математику и историю науки в Университете Париж—VIII. Область научных интересов — история общей теории относительности, а также «рационалистические методы», существовавшие в Древнем Египте и Месопотамии. Участвовал в подготовке коллективного труда (под ред. Мишеля Серра) "Elements d'histoire des sciences" (Paris 1989). Курьер ЮНЕСКО, 1994, январь, стр:10-13 Голова царя Саргона, основателя аккадской династии (бронза, 2400—2200 гг. до н. э.). КОГДА в последнем столетии ученые наконец поняли письменную систему счисления Древней Месопотамии периода последних двух тысячелетий до нашей эры, они открыли в ней две отличительные черты. Во-первых, жители Месопотамии пользовались уникальной системой с основанием число 60. Во-вторых, в отличие от других известных нам древних народов, они, как и мы сегодня, практиковали позиционную систему записи чисел. Какие только аргументы, объясняющие эти две необычные черты, ни выдвигались! Одни предполагали, что это как-то связано с шумерским календарем; другие видели причину в удобстве числа 60, у которого множество делителей; третьи считали, что объяснение следует искать в психологии самих шумеров. Однако теперь мы знаем, что это обусловлено происхождением и развитием шумерского письма, а точнее, той связью, которая имелась между записями хозяйственной деятельности и письмом, изначально предназначавшимся именно для учета, тогда как сам процесс формирования письменности растянулся на целое тысячелетие. Поскольку шумеры для ведения счетов пользовались предметами из глины — весьма долговечного материала, — то мы имеем возможность проследить развитие шумерского письма (а также его развитие в соседних Сузах), сложившегося в конце четвертого — начале третьего тысячелетия. Сначала для счета использовались полые глиняные шары, заполнявшиеся маленькими значками разного размера и формы, на поверхности шаров ставился оттиск цилиндрических печатей. Форма и размер значков сообщали о предмете и представляли собой единицу счета или измерения. Оттиски печати на наружной поверхности шара указывали на владельца или договаривающиеся стороны, а также на чиновника, осуществлявшего контроль. Рис. 1. Три способа счисления Направление стрелок от знака, обозначающего меньшую единицу счета, к знаку, обозначающему большую единицу счета. Цифра над стрелкой указывает, сколько единиц меньшей величины, выраженных одним знаком, составляют единицу большей величины, выраженную другим знаком. Например, 1 маленький кружок=6 малым засечкам в системе $,10 малым засечкам в системе S и 18 малым засечкам в системе G. Система S (шестидесятеричная) — для счета единичных предметов и измерения длины система G — меры площади, а система Ś — меры объема. В течение следующих нескольких столетий эта система претерпела эволюцию. Сначала значки отпечатывались на поверхности шара и только после этого закладывались внутрь; затем от них отказались и стали пользоваться только их оттисками на поверхности сплющенного шара или таблички; наконец, для нанесения записи на глиняную поверхность начали пользоваться тростниковой палочкой, вытеснившей сами значки. Примерно к 3200 г. до н. э. шумерское письмо достигло такого этапа развития, что располагало арсеналом из 30 числовых и 800 нечисловых значков для обозначения пересчитываемых предметов, а также географических и официальных названий. Другие системы счета В этот период (3200—2800 гг. до н. э.) в Месопотамии практиковалось много различных систем счисления. Среди них встречались системы счета отдельных предметов, определения длин, обмера поверхностей, определения объема зерна (с последующим делением на подсистемы для различных зерен!), измерения времени. В те времена существовало свыше десятка метрологических систем. Три из них представлены на рис. 1. В любой из этих систем для обозначения числа практиковалась непозиционная техника с применением принципа сложения, то есть числовой знак использовался столько раз, сколько было величин, обозначаемых этим знаком. Это продемонстрировано на рис. 2 на примере текста, в котором приводится число овец в стаде. Глиняная табличка, использовавшаяся в счетоводстве (Месопотамия, ок. 3000 г. до н. э.). Однако, несмотря на большое разнообразие систем, количество числовых знаков, или «цифр», было незначительным. Все знаки, по существу, были образованы из четырех различных символов, выдавленных на глине с помощью палочки из тростника: большого и маленького кругов, а также длинной и короткой засечки (рис. 3). Более того, эти знаки использовались только в определенных комбинациях: или по отдельности (четыре знака), или в комбинации круг+засечка того же размера или круг+круг двух разных размеров — это давало в итоге семь знаков. Рис. 2. Подсчет поголовья скота Объяснение: 2x10+7x1=27 овец и 2x10+5x1=25 баранов Всего — 5x10+2x1 =52 головы Эти несколько знаков находили разное применение в различных системах: маленький круг равнялся 10 маленьким засечкам в системе для измерения отдельных величин (система S), 6 маленьким засечкам — в системе определения объема (система S) и 18 таким же засечкам — в системе измерения поверхности (система G). Таким образом, «числовые знаки» не имели никакого особого значения, кроме того, что давала им система, в рамках которой они функционировали. Более того, соотношения между соседними знаками — их «относительная ценность» — варьировали от системы к системе. Следовательно, в то время не существовало общего понятия о числе, а имелись только способы счета. Начиная примерно с 3200 г. до н. э. в Месопотамии в течение 500 лет появлялись тексты, весьма ограниченные по своему содержанию. Это преимущественно счета, изобилующие числами, записанными в соответствии с разными метрологическими системами, которые дополнены знаками для обозначения пересчитываемых предметов, а также географическими названиями и официальными титулами. Среди них встречаются также несколько школьных текстов, перечни знаков и слов, обозначавших как числительные, так и нечислительные, которые должен был освоить юный ученик писца. Основная задача овладения навыками письма заключалась в подготовке счетоводов. Мысль о том, что письмо можно отделить от счетоводства, чтобы с его помощью фиксировать разговорный язык, — роль письменности, которая нам представляется столь естественной, — эволюционировала крайне медленно, на что ушло без малого 500 лет. Двойная эволюция Приблизительно в 2600 г. до н. э. растущие города-государства, входившие в состав Древнего Шумера, достаточно окрепли и разбогатели для развития письменности, до этого встречавшейся всего в нескольких местах, и ее распространения по всей южной Месопотамии. Одна из реформ, проводимых в этот период консолидации, коснулась метрологических систем. Их число было сокращено с десятка до нескольких: для определения дискретных величин и линейных мер, для измерения площади и объема. К ним была добавлена еще одна — для измерения веса. Вместо того чтобы изобретать новые «цифры» для обозначения величин в этой системе, было решено использовать «цифры» системы определения единичных предметов, снабдив их названиями единиц веса. Система оказалась настолько удобной, что названия единиц веса и их относительные значения были перенесены на метрологическую систему измерения поверхностей для обозначения небольших площадей. Эта идея — именовать единицы измерения — стала одним из главных нововведений этого периода и не ограничивалась лишь системой весов и ее производными. Отныне собстрённые названия получали и крупные единицы длины и объема. Писец изображал числовой знак+ «bur» для измерения площади поверхности и числовой знак+«nindan» для определения длины. Как только названия единиц были зафиксированы на письме, сразу стало возможным определять, какие именно измерения были проведены. Отныне писцы Месопотамии должны были повсеместно практиковать этот новый метод. Другая важная перемена, происшедшая в этот период, коснулась написания чисел. Когда речь шла о площадях, знак (указанный под буквой А) вытеснил прежний знак (под буквой В, рис. 4), при этом внешняя из двух концентрических окружностей была заме-нена четырьмя перечеркнутыми клиновидными штрихами (от лат. «cuneus» — «гвоздь» или «клин»). Это — всего лишь один пример растущей «клинонизации» письма (включая и числовые знаки), характерной для той эпохи. Изогнутые выдавленные линии прежнего полупиктографического письма, с трудом поддававшиеся воспроизведению на глине, уступили место более скоростному и простому способу нанесения надписей с помощью тростниковой палочки. Этот вид письма, робко обозначивший свое появление еще в предыдущий период, теперь получил стремительное распространение, фактически вытеснив к концу тысячелетия прежние округлые обозначения чисел. Скоропись Период 2350—2200 гг. до н. э. ознаменовался появлением первой могущественной империи на территории Месопотамии, созданной аккадцами, которые говорили на одном из семитских языков. Два новшества, введенных в Аккадской империи, которая в период своего расцвета и могущества простиралась от Персидского залива до Сирии и Ливана, также сыграли решающую роль в развитии метрологии и письма. Системы единиц измерения, унаследованные от предыдущей эпохи, были упорядочены и приведены в соответствие друг с другом. Хотя сложность прежних способов счета не была до конца изжита, соотношения между единицами измерения постепенно стабилизировались вокруг постоянных значений. Более того, система чисел, использовавшаяся для подсчета единичных предметов, стала широко применяться и для других . видов измерений, дополняемая названиями различных единиц. В то же время прежние числа, обозначенные буквами С и D, были заменены Е и F (рис. 5). Медленное шествие клинописи продолжалось. Эти изменения, продиктованные необходимостью эффективного решения растущего числа государственных задач в Аккадской империи, носили двойственный характер. Конечно, проще и быстрее было писать новые клинообразные числа, чем прежние, закругленные по форме, но за скоропись пришлось платить, у Графически различие между маленькой величиной и той, что превышала ее в 60 раз, было весьма незначительным и заключалось в более крупной «головке», с которой начинался простой вертикальный штрих. При быстром написании и  прочтении например, чисел 61 и 2 между ними не было никакой разницы (рис. 6), что составляло теперь главную проблему. Решая эту задачу, писцы Месопотамии, вероятно, в аккадский или более поздний период, использовали эту путаницу для создания позиционной системы. Всего: 11/2 mana 31/2 gin минус 7se серебра Столбец 1 (крайний справа):0+50+40+20=60+50 — 50 пишем, 1 в уме, Столбец 2: 54+56+43+53+1 (в уме)=207=Зх60+27 — 27 пишем, 3 в уме. Столбец 3:14+29+17+30+3 (в уме)=93=60+33 — 33 пишем, 1 в уме. Всего: 1 33 27 50 Итак, 1 mana=60 gin=100 gin (с основанием 60), а 1 se=1/180 gin=0;00 20 gin (с основанием 60): 1 33 27 50=1 33; 27 50 gin=1 mana+33 gin+83 se (округленно, 83 se=0;27 40 gin) или, пользуясь более традиционным способом записи, 1V2 mana (=1 mana 30 gin)+3V2 gin (=3 gin 90 se) — 7 se Рис. 8. Шестидесятеричная система счисления В десятичной позиционной системе, которой пользуемся мы, применяются девять цифр —1,2,3... 9 и еще 0; значение цифры в составе числа определяется тем, какое место занимает в нем эта цифра. Каждое место символизирует собой число 10, воз-веденное в определенную степень. Таким образом, в числе 161 крайняя справа цифра 1 — это единица, крайняя слева цифра 1 — это сотня, а цифра 6 выражает шесть десятков, то есть: 161=100+60+1=1 Х100+6х10+1х1=1х102+6х101+ 1x10°. В шестидесятеричной системе с основанием 60 имеется 59 цифр (нуль представляется пустым местом). Таким образом, число, написанное путем помещения рядом трех клинописных цифр, представляющих 29, 56 и 50, может быть переведено в десятичную систему следующим образом: 29х602+56х601+50х600=29х3600+56х60+50х 1 = 104400+3360+50=107810. Нетрудно заметить, что именно по такой шестидесятеричной системе мы считаем время: 29 часов 56 минут 50 секунд =29x3600+56x60+50= 107810 секунд. Рождение позиционной записи Y  Z Рис. 9. Месопотамский «нуль» В современной системе записи чисел нуль имеет две главные функции: — самостоятельного числа. Например, можно приу­бавить нуль к пяти, получив при этом пять; — знака в составе числа. Так, запись числа 5020 означает, что в нем 5 тысяч, нуль сотен, 2 десятка и нуль единиц. В Месопотамии так и не дошли до концепции нуля как особого числа. Тем не менее потребность обозначить пустые места в определенном разряде внутри числа существовала, и для этого прибегали к двум разным методам. Первый, применявшийся со времени изобретения позиционной записи чисел в конце третьего тысячелетия до н. э. вплоть до конца первого тысячелетия до н. э., состоял в том, чтобы оставить в записи числа пустое место, показывая тем самым, что в данном разряде шестидесятеричной системы единиц нет. К примеру, число 3 22 (3 раза по шестьдесят и 22 единицы) записывалось, как показано на примере Y (вверху), тогда как 3 00 22 (3 раза по три тысячи шестьсот, нуль раз по шестьдесят и 22 еди-ницы) писалось, как показано на примере Y (внизу). На самых поздних стадиях существования месопотамской цивилизации, в эпоху Селевкидов (начиная с конца 4 в. до н.э.), в частности в текстах по астрономии, встречается другой метод, использующий письменный знак, обозначающий нуль. Согласно этому методу шестидесятеричное число 3 00 22 записывалось в ту эпоху, как показано на примере Z. После периода упадка Аккадской империи в Месопотамии возникло новое централизованное государство. Город-государство Ур преуспело в создании новой империи, которая называлась Третьей династией Ур, или Ур III. Один-единственный текст (рис. 7) из более чем 100 тыс. письменных памятников этого периода дает нам представление о технической и концептуальной революции, происшедшей во времена Ур III и в предшествовавшую ей аккадскую эпоху. Этот текст о поставке серебра, в общем-то, ничем не примечателен, за исключением одной детали: писец оставил математические расчеты, сделанные при его составлении. Запись этих расчетов показывает нам, что уже к моменту возникновения империи Ур III существовала полная позиционная система с основанием 60. В первые четыре строки писец внес вес четырех отдельных поставок серебра, пользуясь позиционной шестидесятеричной системой, в которой каждый разряд был равнозначен 60, при этом числа имели значение от 1 до 59 (рис. 8). Знаки, с помощью которых записывались эти 59 чисел, образовывались от первых двух знаков клинописи для счета предметов: клин для величины 10 и черточка для единицы (рис. 9). Пустое место в числе обозначало месопотамский «нуль» (рис.9). В последней строке писец перевел сумму четырех поступлений в традиционную систему измерения веса. Рис.10 Как видно из этого примера, упоминавшаяся выше путаница, возникшая при написании 61 и 2, была преодолена через ее фактическое признание. Отныне больше не существовало разницы в написании этих знаков. В обоих случаях один и тот же знак использовался дважды. Однако теперь различие между ними передавалось исключительно рассто-янием между ними, то есть выделением относительной позиции двух знаков (рис. 10). Так родилась позиционная система месопотамских математиков. Она была шестидесятеричной, и жители Месопотамии выбрали именно ее из большого разнообразия систем, которыми они располагали. Таким образом, появление в Месопотамии шестидесятеричной позиционной системы никак не было связано ни с психологическими особенностями шумеров и аккадцев, ни с мистическими и религиозными ритуалами, ни со сложными математическими критериями делимости. Скорее всего, экономические и социальные нужды все более крепнущего централизованного государства, существовавшего на протяжении тысячелетия, подтолкнули к взаимодействию два одновременно протекавших процесса — последовательный переход к числам, взятым из одной метрологической системы, и клинонизации письма, следствием которой стала опасность одинакового написания разных чисел. Итогом этого взаимодействия было формирование системы чисел, которая практиковалась в Месопотамии в течение последующих 2 тыс. лет. Как мы уже видели, исключительное предпочтение, отдававшееся одной определенной метрологической системе с характерным для нее подбором относительных значений величин, способствовало появлению шестидесятеричной системы, а причиной формирования позиционной записи стала клинопись. Однако самым важным следствием этих двух процессов стало одно непредвиденное обстоятельство. Одни и те же числовые знаки могли теперь использоваться и использовались для написания чисел при расчетах во всех метрологических системах. Новая система не была привязана ни к одному из традиционных способов счета; числа стали свободными, и произошло окончательное отделение числа от системы измерения. Конец третьего тысячелетия до н. э. стал свидетелем рождения понятия числа, отвлеченного от конкретной единицы измерения. == END

sator.ucoz.ru

А что, если не шумеры ? с предыстории математики

Интересно знать:

Если желаете узнать все о сериале Папины дочки, то самое интересное вы можете найти тут на сайте pd.djeo.ru

p-tashka.livejournal.com

• 
  Кухня древней индии
• 
  Массаж древний китайский
• 
  Календарь древних греков
• 
  Макет древнего рима
• 
  Гаплогруппы самые древние
• 
  Крупа древняя состав
• 
  Китайский древний массаж
• 
  Тайны древних курганов
• 
  Искусство древних скифов
• 
  Искусство древней помпеи
• 
  Олимпус древний город