13. Виды и порядок расчета средних величин. Закон средних величин древний

15. Понятие, сущность, значение средних величин.

Средние величины являются одними из наиболее распространенных обобщающих статистических показателей. Они имеют своей целью одним числом охарактеризовать статистическую совокупность состоящую из меньшинства единиц. Средние величины тесно связаны с законом больших чисел. Сущность этой зависимости заключается в том, что при большом числе наблюдений случайные отклонения от общей статистики взаимопогашаются и в среднем более отчетливо проявляется статистическая закономерность.

С помощью метода средних решаются следующие основные задачи:

1. Характеристика уровня развития явлений.

2. Сравнение двух или нескольких уровней.

3. Изучение взаимосвязей социально-экономических явлений.

Анализ размещения социально-экономических явлений в пространстве.

Для решения этих задач статистическая методология разработала различные виды средних.

16. Средняя арифметическая и её свойства.

Средняя арифметическая – самый распространенный вид средней величины. Когда речь идет о средней величине без указания ее вида, подразумевается именно средняя арифметическая. Она исчисляется в тех случаях, когда объем усредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц изучаемой статистической совокупности. Например, общий фонд заработной платы – это сумма заработных плат отдельных работников, общее число рабочих в промышленности – это сумма их численностей на отдельных промышленных предприятиях, общий сбор урожая – сумма урожаев с каждого гектара площади и т.д. При исчислении средней арифметической выполняют две операции: • суммируют индивидуальные значения признаков • полученную сумму делят на число значений В зависимости от характера исходных данных средняя арифметическая может быть рассчитана по формуле простой или взвешенной средней. Если исходные данные не систематизированы, то применяется формула простой средней арифметической. Если исходные данные сгруппированы и представлены весами (частотами), т.е. с числом единиц, имеющих одинаковые значения признака, то среднюю арифметическую исчисляют по формуле взвешенной средней.

Теперь рассмотрим важнейшие свойства средней арифметической: 1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты.

Другими словами, постоянный множитель может быть вынесен за знак средней

2. Если от каждой варианты отнять (прибавить) какое-либо произвольное число, то новая средняя уменьшится (увеличится) на то же число:

3. Если каждую варианту умножить (разделить) на какое-то произвольное число, то средняя арифметическая увеличится (уменьшится) во столько раз

4. Если все частоты (веса) разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая от этого не изменится.

Дело в том, что веса при исчислении средней арифметической выполняют роль удельного веса (соотношений между группами по количеству единиц). Поэтому замена частот частостями не меняет средней.

5. Сумма отклонений отдельных вариантов от средней арифметической всегда равняется нулю.

Перечисленные свойства могут быть использованы для того, чтобы облегчить технику исчисления средней арифметической. Например. Можно из всех значений признака вычесть произвольную постоянную величину (лучше значение серединной варианты или варианты с наибольшей частотой), полученные разности сократить на общий множитель (лучше на величину интервала), а частоты выразить частостями (в процентах) и исчисленную среднюю умножить на общий множитель и прибавить произвольную постоянную величину. Иногда этот способ расчета средней арифметической также называется способом расчета от условного нуля. Широкое применение для обработки статистических материалов современных ЭВМ сужает необходимость исчисления средних по упрощенным схемам.

studfiles.net

STATISTIKA

ВВЕДЕНИЕ

 Средняя величина как категория статистики.  Средние величины являются одними из наиболее распространенных обобщающих статистических показателей. Они имеют своей целью одним числом охарактеризовать статистическую совокупность состоящую из меньшинства единиц. Средние величины тесно связаны с законом больших чисел. Сущность этой зависимости заключается в том, что при большом числе наблюдений случайные отклонения от общей статистики взаимопогашаются и в среднем более отчетливо проявляется статистическая закономерность.  С помощью метода средних решаются следующие основные задачи:  1. Характеристика уровня развития явлений.  2. Сравнение двух или нескольких уровней.  3. Изучение взаимосвязей социально-экономических явлений.  Анализ размещения социально-экономических явлений в пространстве. 

Содержание

I.Статистические показатели: средние величины

1.1.Понятие о средних величинах

1.2.Виды средних и способы их вычисления

II. Основные категории статистики

1. Понятие о средних величинах

Признаки единиц статистических совокупностей различны по своему значению, например, заработная плата рабочих одной профессии какого-либо предприятия не одинакова за один и тот же период времени, различны цены на рынке на одинаковую продукцию, урожайность сельскохозяйственных культур в хозяйствах района и т.д. Поэтому, чтобы определить значение признака, характерное для всей изучаемой совокупности единиц, рассчитывают средние величины.

Средняя величина – это обобщающая характеристика множества индивидуальных значений некоторого количественного признака.

Совокупность, изучаемая по количественному признаку, состоит из индивидуальных значений; на них оказывают влияние, как общие причины, так и индивидуальные условия. В среднем значении отклонения, характерные для индивидуальных значений, погашаются. Средняя, являясь функцией множества индивидуальных значений, представляет одним значением всю совокупность и отражает то общее, что присуще всем ее единицам.

Средняя, рассчитываемая для совокупностей, состоящих из качественно однородных единиц, называется типической средней. Например, можно рассчитать среднемесячную заработную плату работника той или иной профессиональной группы (шахтера, врача библиотекаря). Разумеется, уровни месячной заработной платы шахтеров в силу различия их квалификации, стажа работы, отработанного за месяц времени и многих других факторов отличаются друг от друга, так и от уровня средней заработной платы. Однако в среднем уровне отражены основные факторы, которые влияют на уровень заработной платы, и взаимно погашаются различия, которые возникают вследствие индивидуальных особенностей работника. Средняя заработная плата отражает типичный уровень оплаты труда для данного вида работников. Получению типической средней должен предшествовать анализ того, насколько данная совокупность качественно однородна. Если совокупность состоит их отдельных частей, следует разбить ее на типические группы (средняя температура по больнице).

Средние величины, используемые в качестве характеристик для неоднородных совокупностей, называются системными средними. Например, средняя величина валового внутреннего продукта (ВВП) на душу населения, средняя величина потребления различных групп товаров на человека и другие подобные величины, представляющие обобщающие характеристики государства как единой экономической системы.

Средняя должна вычисляться для совокупностей, состоящих из достаточно большого числа единиц. Соблюдение этого условия необходимо для того, чтобы вошел в силу закон больших чисел, в результате действия которого случайные отклонения индивидуальных величин от общей тенденции взаимно погашаются.

2. Виды средних и способы их вычисления

Выбор вида средней определяется экономическим содержанием определенного показателя и исходных данных. Однако любая средняя величина должна вычисляться так, чтобы при замене ею каждой варианты осредняемого признака не изменился итоговый, обобщающий, или, как его принято называть, определяющий показатель, который связан с осредняемым показателем. Например, при замене фактических скоростей на отдельных отрезках пути их средней скоростью не должно измениться общее расстояние, пройденное транспортным средством за одно и тоже время; при замене фактических заработных плат отдельных работников предприятия средней заработной платой не должен измениться фонд заработной платы. Следовательно, в каждом конкретном случае в зависимости от характера имеющихся данных, существует только одно истинное среднее значение показателя, адекватное свойствам и сущности изучаемого социально-экономического явления.

Наиболее часто применяются средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая и средняя кубическая.

Перечисленные средние относятся к классу степенных средних и объединяются общей формулой:

где – среднее значение исследуемого признака;

m – показатель степени средней;

– текущее значение (варианта) осредняемого признака;

n – число признаков.

В зависимости от значения показателя степени m различают следующие виды степенных средних:

при m = -1 – средняя гармоническая ;

при m = 0 – средняя геометрическая ;

при m = 1 – средняя арифметическая ;

при m = 2 – средняя квадратическая ;

при m = 3 – средняя кубическая .

Средняя арифметическая

Средняя арифметическая применяется, когда объем совокупности представляет собой сумму всех индивидуальных значений варьирующего признака. Следует отметить, что если вид средней величины не указывается, подразумевается средняя арифметическая. Ее логическая формула имеет вид:

Средняя арифметическая простая рассчитывается по несгруппированным данным по формуле:

или ,

где – отдельные значения признака;

j – порядковый номер единицы наблюдения, которая характеризуется значением ;

N – число единиц наблюдения (объем совокупности).

Пример. В лекции «Сводка и группировка статистических данных» рассматривались результаты наблюдения стажа работы бригады из 10 человек. Рассчитаем средний стаж работы рабочих бригады. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

По формуле средней арифметической простой вычисляются также средние в хронологическом ряду, если интервалы времени, за которое представлены значения признака, равны.

Пример. Объем реализованной продукции за первый квартал составил 47 ден. ед., за второй 54, за третий 65 и за четвертый 58 ден. ед. Среднеквартальный оборот составляет (47+54+65+58)/4 = 56 ден. ед.

Если в хронологическом ряду приведены моментные показатели, то при вычислении средней они заменяются полусуммами значений на начало и конец периода.

Если моментов больше двух и интервалы между ними равны, то средняя вычисляется по формуле средней хронологической

,

где n- число моментов времени

В случае, когда данные сгруппированы по значениям признака (т. е. построен дискретный вариационный ряд распределения) средняя арифметическая взвешенная рассчитывается с использовании либо частот , либо частостейнаблюдения конкретных значений признака, число которых (k) значительно меньше числа наблюдений (N) .

,

,

где k – количество групп вариационного ряда,

i – номер группы вариационного ряда.

Поскольку , а, получаем формулы, используемые для практических расчетов:

и

Пример. Рассчитаем средний стаж рабочих бригад по сгруппированному ряду.

а) с использованием частот:

б) с использованием частостей:

В случае, когда данные сгруппированы по интервалам, т.е. представлены в виде интервальных рядов распределения, при расчете средней арифметической в качестве значения признака принимают середину интервала, исходя из предположения о равномерном распределении единиц совокупности на данном интервале. Расчет ведется по формулам:

и

где - середина интервала:,

где и– нижняя и верхняя границы интервалов (при условии, что верхняя граница данного интервала совпадает с нижней границей следующего интервала).

Пример. Рассчитаем среднюю арифметическую интервального вариационного ряда, построенного по результатам исследования годовой заработной платы 30 рабочих.

Таблица 1 – Интервальный вариационный ряд распределения.

грн. или грн.

Средние арифметические, вычисленные на основе исходных данных и интервальных вариационных рядов, могут не совпадать из-за неравномерности распределения значений признака внутри интервалов. В этом случае для более точного вычисления средней арифметической взвешенной следует использовать не средины интервалов, а средние арифметические простые, рассчитанные для каждой группы (групповые средние). Средняя, вычисленная по групповым средним с использованием взвешенной формулы расчета, называется общей средней.

Средняя арифметическая обладает рядом свойств.

1. Сумма отклонений вариант от средней равна нулю:

.

2. Если все значения вариант увеличиваются или уменьшаются на величину А, то и средняя величина увеличивается или уменьшается на ту же величину А:

3. Если каждую варианту увеличить или уменьшить в В раз, то средняя величина также увеличится или уменьшатся в то же количество раз:

или

4. Сумма произведений вариант на частоты равна произведению средней величины на сумму частот:

5. Если все частоты разделить или умножить на какое-либо число, то средняя арифметическая не изменится:

6) если во всех интервалах частоты равны друг другу, то средняя арифметическая взвешенная равна простой средней арифметической:

,

где k – количество групп вариационного ряда.

Использование свойств средней позволяет упростить ее вычисление.

Допустим, что все варианты (х) сначала уменьшены на одно и то же число А, а затем уменьшены в В раз. Наибольшее упрощение достигается, когда в качестве А выбирается значение середины интервала, обладающего наибольшей частотой, а в качестве В – величина интервала (для рядов с одинаковыми интервалами). Величина А называется началом отсчета, поэтому этот метод вычисления средней называется способом отсчета от условного нуля или способом моментов.

После такого преобразования получим новый вариационный ряд распределения, варианты которого равны . Их средняя арифметическая, называемая моментом первого порядка, выражается формулойи согласно второго и третьего свойств средней арифметической равна средней из первоначальных вариант, уменьшенной сначала на А, а потом в В раз, т. е..

Для получения действительной средней (средней первоначального ряда) нужно момент первого порядка умножить на В и прибавить А:

Расчет средней арифметической по способу моментов иллюстрируется данными табл. 2.

Таблица 2 – Распределение работников цеха предприятия по стажу работы

Находим момент первого порядка . Затем, зная, что А=17,5, а В=5, вычисляем средний стаж работы работников цеха:

лет

Средняя гармоническая

Как было показано выше, средняя арифметическая применяется для расчета среднего значения признака в тех случаях, когда известны его варианты x и их частоты f.

Если статистическая информация не содержит частот f по отдельным вариантам x совокупности, а представлена как их произведение , применяется формула средней гармонической взвешенной. Чтобы вычислить среднюю, обозначим , откуда. Подставив эти выражения в формулу средней арифметической взвешенной, получим формулу средней гармонической взвешенной:

,

где - объем (вес) значений признака показателя в интервале с номеромi (i=1,2, …, k).

Таким образом, средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда суммированию подлежат не сами варианты, а обратные им величины: .

В тех случаях, когда вес каждой варианты равен единице, т.е. индивидуальные значения обратного признака встречаются по одному разу, применяется средняя гармоническая простая:

,

где – отдельные варианты обратного признака, встречающиеся по одному разу;

N – число вариант.

Если по двум частям совокупности численностью иимеются средние гармонические, то общая средняя по всей совокупности рассчитывается по формуле:

и называется взвешенной гармонической средней из групповых средних.

Пример. В ходе торгов на валютной бирже за первый час работы заключены три сделки. Данные о сумме продажи гривны и курсе гривны по отношению к доллару США приведены в табл. 3 (графы 2 и 3). Определить средний курс гривны по отношению к доллару США за первый час торгов.

Таблица 3 – Данные о ходе торгов на валютной бирже

Средний курс доллара определяется отношением суммы проданных в ходе всех сделок гривен к сумме приобретенных в результате этих же сделок долларов. Итоговая сумма продажи гривны известна из графы 2 таблицы, а количество купленных в каждой сделке долларов определяется делением суммы продажи гривны к ее курсу (графа 4). Всего в ходе трех сделок куплено 22 млн. дол. Значит, средний курс гривны за один доллар составил

.

Полученное значение является реальным, т.к. замена им фактических курсов гривны в сделках не изменит итоговой суммы продаж гривны, выступающей в качестве определяющего показателя: млн. грн.

Если бы для расчета была использована средняя арифметическая, т.е. гривны, то по обменному курсу на покупку 22 млн. дол. нужно было бы затратить 110,66 млн. грн., что не соответствует действительности.

Средняя геометрическая

Средняя геометрическая используется для анализа динамики явлений и позволяет определить средний коэффициент роста. При расчете средней геометрической индивидуальные значения признака представляют собой относительные показатели динамики, построенные в виде цепных величин, как отношения каждого уровня к предыдущему.

Средняя геометрическая простая рассчитывается по формуле:

,

где – знак произведения,

N – число осредняемых величин.

Пример. Количество зарегистрированных преступлений за 4 года возросло в 1,57 раза, в т. ч. за 1-й – в 1,08 раза, за 2-й – в 1,1 раза, за 3-й – в 1,18 и за 4-й – в 1,12 раза. Тогда среднегодовой темп роста количества преступлений составляет: , т.е. число зарегистрированных преступлений ежегодно росло в среднем на 12%.

Средняя геометрическая взвешенная используется, когда временные интервалы неодинаковы:

,

где – временной интервал.

Средняя квадратическая

Средняя квадратическая применяется, когда в качестве вариант используются отклонения фактических значений признака от средней арифметической или от заданной нормы.

Средняя квадратическая простая:

.

Средняя квадратическая взвешенная:

Пример. Вычислить среднюю величину измеренных отклонений фактической длины изделий от заданной нормы.

Для расчета средней квадратической взвешенной определяем и заносим в таблицу и. Тогда средняя величина отклонений длины изделий от заданной нормы равна:

Средняя арифметическая в данном случае была бы непригодна, т.к. в результате мы получили бы нулевое отклонение.

II. Основные категории статистики

Статистика оперирует определенными категориями – понятиями, отражающими существенные, всеобщие свойства и основные отношения явлений действительности.

Объект конкретного статистического исследования называют статистической совокупностью.

Статистическая совокупность – это множество единиц (объектов, явлений), объединённых единой закономерностью и варьирующих в пределах общего качества.

Специфическим свойством статистической совокупности является массовость единиц, поскольку явление характеризуется массовым процессом и всем многообразием определяющих его причин и форм.

Под единицами совокупности понимаются её неделимые первичные элементы, выражающие её качественную однородность, т. е. являющиеся носителями признаков.

Под качественной однородностью единиц совокупности понимается сходство единиц (объектов явлений) по каким-либо существенным признакам, но различающихся по каким-либо другим признакам.

Выделение качественно однородных статистических совокупностей является предпосылкой расчета обобщающих показателей, статистического изучения вариации, связей между признаками.

Единицы статистической совокупности характеризуются общими свойствами, именуемыми в статистике признаками.

Признак – это показатель, характеризующий некоторое свойство объекта совокупности, рассматриваемый, как случайная величина

Значение каждого признака отдельной единицы совокупности (варианты) могут быть различными.

Вариация – это различия в значениях того или иного признака у отдельных единиц, входящих в данную совокупность. Она возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по разному сочетаются в каждом отдельном случае.

Наличие вариации является основной предпосылкой статистического исследования. Варьирующие признаки могут быть количественными , если их варианты выражаются числовыми значениями (возраст, стаж работы, оплата труда и прочее) и неколичественными (атрибутивными), не имеющими числового выражения и представляющими собой смысловые понятия (профессия, социальная принадлежность и т д.)Количественные признаки могут быть дискретными и непрерывными. Случаи, когда варианты признака могут принимать только одно из двух противоположных значений, говорят об альтернативном признаке. Признаки подразделяются на существенные, или главные, выражающие содержательную сторону явлений, и несущественные, или второстепенные, статистическому изучению подлежат существенные признаки.

studfiles.net

006_средние_величины

Тема 6: Средние величины

В зависимости от особенностей распределения рассчитывают показатели, которые возможно разделить на три основные группы:

1) уровень изучаемого признака;

2) вариация изучаемого признака;

3) форма распределения.

Важнейшей характеристикой уровня изучаемого признака является средняя величина.

Взаимодействие элементов совокупности приводит к ограничению вариации хотя бы части их свойств

Средняя величина - - обобщающая величина изучаемого признака в совокупности, которая характеризует либо типичный уровень по качественно однородной совокупности, либо совокупность в целом.

Средние величины бывают:

• типические - если средняя величина обобщает качественно однородные значения признака, то она является типической характеристикой признака в данной совокупности

Пример: средняя величина надоя молока от коров черно-пестрой породы на первом году лактации при норме кормления 12,5 кормовой единицы в сутки.

Пример: средняя скорость гоночных автомобилей

Общая и групповые средние

Средняя величина, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней. Она дополняется средними, если совокупность разделить на отдельные группы. Такие средние величины называются групповыми средними.

Виды средних величин

Если совокупность разбита на несколько групп и в каждой группе рассчитана своя средняя арифметическая величина , общая средняя для всей совокупности составит:

Степенные средние величины:

Многие виды средних могут быть получены из формулы степенной средней. Подставив в её формулу значение Z (показатель степени), определяемое объектом и задачами исследования, возможно получить тот или иной вид средней: арифметическую, гармоническую, геометрическую, квадратическую и т.д.

Виды степенных средних величин

Здесь - значения изучаемого признака, n - объем совокупности, -вес, Z показатель степени,

Свойства средней арифметической

1. сумма отклонений отдельных значений признака от средней арифметической равна нулю;

2. если от каждого значения признака вычесть или к каждому его значению прибавить одно и то же число, то средняя соответственно уменьшится или увеличится на то же самое число;

3. если каждое значение признака разделить или умножить на одно и то же число, то средняя соответственно уменьшится или увеличится во столько же раз;

4. если значения признака-веса разделить или умножить на одно и то же число, то величина средней не изменится;

5. сумма квадратов отклонений значений признака от средней меньше суммы квадратов отклонений от любой произвольной величины;

6. произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариантов на частоты.

Правило мажоритарности средних

С увеличением показателя степени средних увеличивается и сама средняя величина

Применение степенных средних (зависит от характера имеющейся информации)

Применение средних величин в экономике

В средних величинах отображаются важнейшие показатели товарооборота, товарных запасов, цен. Средними величинами характеризуются качественные показатели коммерческой деятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

Например, обобщающим показателем доходов рабочих акционерного общества (АО) служит средний доход одного рабочего, определяемый отношением фонда заработной платы и выплат социального характера за рассматриваемый период (год, квартал, месяц) к численности рабочих АО. Для лиц с достаточно однородным уровнем доходов, например, работников бюджетной сферы и пенсионеров по старости (исключая имеющих льготы и дополнительные доходы) можно определить типичные доли расходов на покупку предметов питания. Так можно говорить о средней продолжительности рабочего дня, среднем тарифном разряде рабочих, среднем уровне производительности труда и т.д.

И т.п.

studfiles.net

1. Сущность и значение средних величин:

Средняя величина - обобщающая характеристика изучаемого признака в совокупности. Она отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Важный вклад в обоснование теории средних величин внес крупный ученый 19 в. Адольф Кетле. Согласно теории Кетле массовые явления и процессы формируются под влиянием двух групп причин:

в первую группу общих для всех единиц совокупности причин относятся причины, определяющие состояние общего процесса. Они формируют типичный уровень:

вторая группа (индивидуальных) причин формирует специфические особенности отдельных единиц массовой совокупности. Эти причины не связаны с природой изучаемого явления, их называют случайными причинами.

Средние величины применяются для оценки достигнутого изучаемого показателя, при анализе и планировании производственно-хозяйственной деятельности предприятий, фирм, банков. Средняя величина всегда величина именованная и имеет ту же размерность что и признак у отдельных единиц совокупности. Основным условием научного использования средней величины является качественная однородность совокупностей, по которой исчислена средняя.

Существуют две категории средних величин:

Степенные средние (среднее арифметическое, гармоническое).

Структурные (мода, медиана).

При выборе вида средней величины обычно исходят из логической сущности осредняемого признака и по взаимосвязи с осредняемым показателем.

Величина итогового показателя не должна меняться при замене индивидуальных значений признака средней величиной. Способность средних величин сохранять свойства статистической совокупности называется определенным свойством.

В экономической практике широко используется широкий круг показателей, вычисленных в виде средних величин:

показатели средней зарплаты;

средний продолжительности рабочего дня;

среднего выполнения норм выработки рабочего;

средней урожайности сельхозкультур и т.д.

Средняя величина характеризует всю массу единиц изучаемой совокупности и выражает то общее, что характерно для данной совокупности, не характеризует отдельные единицы.

Средние величины могут быть как абсолютными, так и относительными. Средний удой (15,1кг) - абсолютная средняя величина. Средний процент выполнения плана реализации продукции по группе промышленных предприятий представляет собой относительную среднюю величину.

Виды средних величин и способы их вычисления

В статистике применяются различные виды средних величин:

Средняя арифметическая

Средняя гармоническая.

Средняя геометрическая.

Средняя квадратическая.

Мода, медиана и др.

Наиболее распространенным видом средних величин в статистике является средняя арифметическая. Реже применяется средняя гармоническая. При исчислении средних темпов динамики используется средняя геометрическая, а при исчислении показателей колеблемости величины признака применяется средняя квадратическая.

Средняя арифметическая (простая и взвешенная)

Средняя величина исчисляется как средняя арифметическая в тех случаях, когда имеются данные об отдельных значениях варьируемого признака.

Формула расчета средней арифметической простой:

х = ех/n, где

х - значение признака,

n - количество вариант в вариационном ряду.

Порядок вычисления средней в общем виде:

_

х= (х1*f1+x2*f2+…+xn*fn) / (f1+f2+…+fn) =е (x*f) /еf, где

х - значения вариант,

f - значение весов каждой варианты (частоты).

Средняя арифметическая в этой форме называется средней арифметической взвешенной.

Назначением же и простой и взвешенной средней арифметической является определение среднего значения варьирующего признака с учетом распространенности отдельных вариант. Если в изучаемой совокупности варианты значений признака встречаются по одному разу или имеют одинаковый вес (т.е. каждая встречается одинаковое число раз), то применяется средняя арифметическая простая. Если варианты в совокупности встречаются по несколько раз, но имеют различные веса (т.е. каждая встречается разное число раз), то для определения среднего значения применяется средняя арифметическая взвешенная.

Иногда варианты признака, по которым вычисляется средняя, бывают представлены в виде интервалов (от-до).

Свойства средней арифметической

В процессе вычисления и статистико-экономического анализа средней арифметической может оказаться полезным знание некоторых ее математических свойств (без развернутых доказательств).

Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной:

А=А при А=const.

Сумма отклонений отдельных вариант от средней арифметической равна «0»

е (Х-Х) =0

и для сгруппированных данных:

е (Х-Х) *f=0.

Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признаков (отдельных вариантов) от средней арифметической есть число наименьшее:

е (Х-Х) 2=min.

И для сгруппированных данных:

е (Х-Х) 2*f=min.

Если все варианты признака Х увеличить или уменьшить на постоянное число А, то и со средней арифметической произойдет то же самое:

е (Х±А) /n=Х±А.

И е (Х±А) *f/еf=Х±А.

Если все варианты разделить на какое-либо постоянное число d, то средняя арифметическая уменьшится в d раз:

е (Х/d) /n = X/d,

и е ( (Х/d) *f) /еf = X/d.

Если все веса разделить на какое-либо постоянное число d, то средняя арифметическая не изменится:

е (X (f/d)) /е (f/d) = (1/d) *е (X*f) / (1/d) *еf =X.

Из этого свойства вытекают два методических следствия:

Следствие 1. Абсолютные значения весов можно заменять их процентным выражением, приняв еf=100,0.

Следствие 2. Если все веса равны между собой, то вычисления средней арифметической простой дает результат, аналогичный вычислению средней арифметической взвешенной.

Формула средней арифметической, исчисленной способом моментов, имеет вид:

Х = m1*d+A, где

m1 - первый момент, вычисляемый по формуле:

m1=е ( (x-А) /d*f) /еf, где

А - произвольная постоянная величина, чаще всего - это то значение признака, которое занимает срединное положение в данном ряду или то, которое имеет наибольшую частоту;

d - постоянная произвольная величина, выбирается после того, как найдены разности (х-А). Для вариационного ряда с равновеликими интервалами d принимается равным величине интервала. В остальных случаях d - это общий наибольший делитель разности (х-А).

Средняя гармоническая

Средняя гармоническая - это величина обратная средней арифметической из обратных значений признака.

Простая средняя гармоническая - это величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Средняя гармоническая бывает простой и взвешенной.

Простая средняя гармоническая вычисляется по формуле:

Х=n/е (1/X).

Средняя гармоническая взвешенная определяется по формуле:

Х=еМ/е (М/х), где М=х*f.

Средняя себестоимость единицы продукции исчислена по формуле средней гармонической, так как исходной базой исчисления средней себестоимости является отношение затрат на производство всей продукции к количеству единиц продукции.

Средняя гармоническая используется в тех случаях, когда следует исчислить среднюю из величин, обратно пропорциональных изучаемому явлению.

Среднее геометрическое рассчитывается по формуле

Х= nЦx1*x2*…*xn= nЦn*xi

При применении средней геометрической индивидуальные значения признака представляют собой относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин. Средняя характеризует средний коэффициент роста.

Средняя геометрическая используется так же для определения равноудаленной величины от max и min значений признака.

studfiles.net

Средняя хронологическая

12

Наряду с абсолютными и относительными величинами в статистике большое применение находят средние величины. В повседневной жизни употребляются термины "в среднем", "средняя". Например, средняя цена, средний расход продуктов, средняя заработная плата, средняя мощность оборудования, средняя выработка, средний размер сбережений и т. д.

В экономическом анализе часто приходится оперировать средними величинами в целях лучшего понимания общей картины, когда нужно из многих признаков получить величину, в которой отражались бы свойства всех признаков, входящих в состав совокупности.

Средняя величина в С - обобщающий по­казатель, характеризующий типичный уровень явления в конкрет­ных условиях места и времени, отражающий величину варьирую­щего признака в расчете на единицу качественно однородной со­вокупности.

Средняя величина есть обобщающая количественная характеристика однородных явлений по какому-либо варьирующему признаку.

Применение средних величин позволяет охарактеризовать определенный признак совокупности одним числом, несмотря на количественные различия единиц по данному признаку внутри совокупности.

Следовательно, средняя величина есть обобщающая характеристика совокупности; средняя величина выражает типичное свойство совокупности; средняя величина — величина абстрактная, а не конкретная, так как в ней сглаживаются отдельные значения единиц совокупности, имеющие отклонения в ту и другую сторону; реальность средней величины достигается, если она вычисляется из одной совокупности.

Пользуясь средними величинами при анализе массовых явлений, необходимо всегда помнить, что часто в средней величине скрываются отстающие хозяйствующие субъекты, которые имеют низкие показатели своей деятельности и, наоборот, не выявляются фирмы, компании, предприятия и т. д., которые работают весьма эффективно. Это возможно, как уже говорилось выше, в связи со свойством средней, в которой отклонения отдельных значений признака от ее величины взаимно погашаются. (Так, например, при условии выполнения плана розничного товарообо­рота в целом по холдингу, занимающемуся продажей товаров, часть фирм, входящих в него, не выполнила план и, наоборот, другая часть перевыполнила план товарооборота.) Поэтому, кроме средней, следует использовать и отдельные индивидуальные показатели работы фирм, входящих в холдинг.

В эк. практике исп.-ся широкий круг показателей, вычисленных в виде средних величин.

Напр, обобщающим показателем доходов рабочих АО служит средний доход одного рабочего, определяемый отношением фонда з/п и выплат социального характера за рассматриваемый период (год, квартал, месяц) к численности рабочих АО.

Вычисление среднего – один из распространенных приемов обобщения; средний показатель отражает то общее, что характерно (типично) для всех единиц изучаемой совокуп­ности, в то же время он игнорирует различия отдельных еди­ниц. В каждом явлении и его развитии имеет место сочетание случайности и необходимости. При исчислении средних в силу действия закона больших чисел случайности взаимопогашаются, уравновешиваются, поэтому можно абстрагироваться от несущественных особенностей явления, от колич. значений признака в каждом конкретном случае. В способно­сти абстрагироваться от случайности отдельных значений, ко­лебаний и заключена научная ценность средних как обобщаю­щих характеристик совокупностей.

Там, где возникает потребность обобщения, расчет таких характеристик приводит к замене множества различных инд. значений признака средним показателем, характери­зующим всю совокупность явлений, что позволяет выявить закономерности, присущие массовым общ. явлениям, незаметные в единичных явлениях.

Средняя отражает характерный, типичный, реальный уровень изучаемых явлений, характеризует эти уровни и их изменения во времени и в пространстве; это сводная характеристика закономерностей процесса в тех условиях, в к-рых он протекает.

Выбор вида средней определяется эк. содер­жанием определенного показателя и исходных данных.

1)- Класс степенных средних - арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая и т.д. Помимо степенных средних в с/практике используются

2) Структурные средние - применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся мода и медиана..

Средняя хронологическая — это средний уровень ряда динамики, т. е. средняя, исчисленная по совокупности значений показателя в разные моменты или периоды времени. В зависимости от вида ряда динамики применяются различные способы ее расчета, а именно расчет средней хронологической интервального ряда и средней хронологической моментного ряда.

Средней хронологической интервального ряда является средняя величина из уровней интервального ряда динамики, которая исчисляется по формуле

где — средний уровень ряда;

у — уровень ряда динамики;

n — число членов ряда.

Средней хронологической моментного ряда является средняя величина из уровней моментного ряда динамики. Если f(t) есть функция, выражающая изменение моментного показателя во времени, то за время (t) от а до b средняя хронологическая моментyого ряда равна:

Однако данных непрерывного наблюдения значения f(t) в распоряжении статистики, как правило, нет. Поэтому в зависимости от характера изменения показателя и имеющихся данных применяются различные методы расчета. При равных промежутках времени между датами, на которые имеются данные, и равномерном изменении размера показателя между датами средняя хронологическая мо­ментного ряда обычно исчисляется по формуле:

где у — уровень ряда; n — число всех членов ряда; — средний уровень.

Если периоды времени, отделяющие одну дату от другой, не равны между собой, то расчет средней хронологической моментного ряда производится по формуле средней взвешенной арифметической, в качестве весов которой принимаются отрезки времени между датами, т. е. по формуле:

гдеТ— время, в течение которого данный уровень ряда (у) оставался без изменения.

Известно, например, что в январе 2007 года произошло следующее изменение численности сотрудников компании "Бест": было на 1 января 551 чел., уволился 2 января один сотрудник, было принято 6 января 24 человека, 16 января— 6 человек, уволилось 25 января— 10 сотрудников. Требуется определить среднюю численность сотрудников компании "Бест" в январе 2007 г. Рассчитаем число календарных дней, в течение которых численность сотрудников компании "Бест" оставалась без изменения, и произведение этих чисел.

Таблица 5

Данные для расчета средней численности сотрудников компании "Бест"

Используя данные произведенных расчетов, получим:

В отличие от первого способа расчета средней хронологиче­ской моментного ряда второй способ дает точное значение средней.

Средняя гармоническая (сг).

СГ применяется в тех случаях, когда частоты (веса) не приводятся непосредственно, а входят сомно­жителями в один из имеющихся показателей.

Пример. Автомобиль доставил товары в три магазина фирмы "Весна", которые удалены от головного предприятия на одинаковое расстояние. Так, до первого магазина, расположенного на шоссейной дороге, автомобиль прошел путь со скоростью 50 км/ч, до второго, по проселочной дороге, — 40 км/ч, а в третьем случае автомобилю пришлось полпути пройти через лесной массив, и скорость движения составила только 30 км/ч.

Требуется определить среднюю скорость движения автомобиля. На первый взгляд представляется, что средняя скорость • движения может быть определена по формуле простой арифметической:

Однако нетрудно убедиться, что средняя вычислена непра­вильно. В самом деле, производя расчет средней скорости по про­стой арифметической средней, исходим из того, что автомобиль во всех трех случаях прошел одинаковое расстояние, пройдя соответ­ственно 50, 40 и 30 км, т. е. всего 120 км. Если бы условие этой за­дачи было сформулировано в такой форме, то средняя была бы рас­считана правильно и характеризовала бы пройденное автомобилем среднее расстояние.

В действительности же эта средняя рассчитана неверно, так как «в условия задачи не следует, что автомобиль на преодоление рас­стояния до трех магазинов фирмы "Весна" проехал 120 км, так как Скорость движения была различная. Следовательно, он прошел и разное расстояние.

В тех случаях, когда вес каждого варианта равен единице (индивидуальные значения обратного признака встречаются по одному разу), применяется СГ простая, ис­числяемая по формуле:

где x – отдельные варианты обратного признака, встречающиеся по одному разу; n– число вариантов.

или в сокращенном виде

где —средняя гармоническая; — числа, обратные заданным вариантам.

Иначе говоря, СГ простая отношение числа вариантов к сумме обратных значений этих вариантов.

Для нашего примера будем иметь:

В нашем примере СА (ха) оказалась больше средней гармонической .

При этом абсолютная ошибка завышения составляет — 2 км/ч (38 - 40), а относительная —5%

Т.о., неправильное использование СА привело бы к завышению средней скорости движения автомобиля и к неправильному определению объема перевозок. Это еще раз доказывает, с какой осторожностью следует решать вопрос о том, какую среднюю надлежит применять в экономических расчетах.

В рассмотренном примере частоты (веса) имели одно значение и равнялись единице. Если же частоты (веса) различные, то применяется СГ взвешенная, которая вычисляется следующим образом:

Где - СГ взвешенная:

Как первая, так и вторая формулы показывают, что СГ есть величина обратная СА.

Веса арифметической средней и гармонической средней обо­значены разными буквами: f и m. Это не случайно, так как весами СА служат частоты рассматриваемого ряда, а весами СГ будет произведение вариантов на веса.

Пример. Рассмотрим данные о реализации товаров по двум магазинам фирмы "Весна" (табл. 6). Таблица .6

studfiles.net

Средние величины

КУРСОВАЯ РАБОТА

ТЕОРИЯ СТАТИСТИКИ

На тему: Средние величины

Выполнил: Номер группы: СТП - 72

Юнусова Гульназия Чамилевна

Проверил: Серьга Людмила Константиновна

2008

Содержание

Введение

1. Сущность средних величин, общие принципы применения

2. Виды средних величин и сфера их применения

2.1 Степенные средние величины

2.1.1 Средняя арифметическая величина

2.1.2 Средняя гармоническая величина

2.1.3 Средняя геометрическая величина

2.1.4 Средняя квадратическая величина

2.2. Структурные средние величины

2.2.1 Медиана

2.2.2 Мода

3. Основные методологические требования правильного расчета средних величин

Заключение

Список использованной литературы

Введение

История практического применения средних насчитывает десятки столетий. Основная цель расчета средней состояла в изучении пропорций между величинами. Значимость расчетов средних величин возросла в связи с развитием теории вероятностей и математической статистики. Решение многих теоретических и практических задач было бы невозможно без расчетов средней и оценки колеблемости индивидуальных значений признака.

Ученые разных направлений стремились дать определение средней. Например, выдающийся французский математик О.Л.Коши (1789 - 1857) считал, что средней нескольких величин является новая величина, заключающаяся между наименьшей и наибольшей из рассматриваемых величин.

Однако создателем теории средних следует считать бельгийского статистика А. Кетле (1796 - 1874). Им предпринята попытка определить природу средних величин и закономерностей, в них проявляющихся. Согласно Кетле, постоянные причины действуют одинаково (постоянно) на каждое изучаемое явление. Именно они делают эти явления похожими друг на друга, создают общее для всех их закономерности.

Следствием учения А. Кетле об общих и индивидуальных причинах явилось выделения средних величин в качестве основного приема статистического анализа. Он подчеркивал, что статистические средние представляют собой не просто меру математического измерения, а категорию объективной действительности. Типическую, реально существующую среднюю он отождествлял с истинной величиной, отклонения от которой могут быть только случайными.

Ярким выражением изложенного взгляда на среднюю является его теория «среднего человека», т.е. человека среднего роста, веса, силы, среднего объема грудной клетки, емкости легких, средней остроты зрения и обычным цветом лица. Средние характеризуют «истинный» тип человека, все отклонения от этого типа указывают на уродливость или болезнь.

Взгляды А.Кетле получили дальнейшее развитие в работах немецкого статистика В.Лексиса (1837 - 1914).

Другая разновидность идеалистической теории средних основана на философии махизма. Ее основатель английский статистик А. Боули (1869 - 1957). В средних он видел способ наиболее простого описания количественных характеристик явления. Определяя значение средних или, как он выражается, «их функцию», Боули на первый план выдвигает махистский принцип мышлений. Так, он писал, что функция средних ясна: она заключается в том, чтобы выражать сложную группу при помощи немногих простых чисел. Ум не в состоянии сразу охватить величины миллионов статистических данных, они должны быть сгруппированы, упрощены, приведены к средним.

Последователем А.Кетле был и итальянский статистик К.Джини (1884-1965), автор крупной монографии «Средние величины». К.Джини подверг критике определение средней, данное советским статистиком А.Я. Боярским, и сформулировал свое: «Средняя нескольких величин является результатом действий, выполняемых по определенному правилу над данными величинами, и представляет собой либо одну из данных величин, которая не больше и не меньше всех остальных (средняя действительная или эффективная), либо какую-либо новую величину, промежуточную между наименьшей и наибольшей из данных величин (счетная средняя)».

В данной курсовой работе мы подробно рассмотрим основные проблемы теории средних величин. В первой главе выявим сущность средних величин и общие принципы применения. Во второй главе рассмотрим виды средних величин и сферу их применения на конкретных примерах. В третьей главе будут рассмотрены основные методологические требования расчета средних величин.

1. Сущность средних величин, общие принципы применения

Средние величины являются одними изнаиболее распространенных обобщающих статистических показателей. Они имеютсвоей целью одним числом охарактеризовать статистическую совокупность состоящуюиз меньшинства единиц. Средние величины тесно связаны с законом больших чисел.Сущность этой зависимости заключается в том, что при большом числе наблюденийслучайные отклонения от общей статистики взаимопогашаются и в среднем более отчетливо проявляется статистическая закономерность.

Средняя величина — это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления в конкретных условиях места и времени. Он выражает уровень признака, типический для каждой единицы совокупности.

Средняя является объективной характеристикой только для однородных явлений. Средние для неоднородных совокупностей называются огульными и могут применяться только в сочетании с частными средними однородных совокупностей.

Средняя применяется в статистических исследованиях для оценки сложившегося уровня явления, для сравнения между собой нескольких совокупностей по одному и тому же признаку, для исследования динамики развития изучаемого явления во времени, для изучения взаимосвязей явлений.

Средние широко применяются в различных плановых, прогнозных, финансовыхрасчетах.

Главное значение средних величин состоит в их обобщающей функции,т.е. замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений. Всем известны особенности развития современных людей, проявляющиеся в том числе и в более высоком росте сыновей по сравнению с отцами, дочерей в сравнении с матерями в том же возрасте. Но как измерить это явление?

В разных семьях наблюдаются самые различные соотношения роста старшего и младшего поколения. Далеко не всякий сын выше отца и не каждая дочь выше матери. Но если измерить средний рост многих тысяч лиц, то по среднему росту сыновей и отцов, дочерей и матерей можно точно установить и сам факт акселерации, и типичную среднюю величину увеличения роста за одно поколение.

На производство одного и того же количества товара определенного вида и качества разные производители (заводы, фирмы) затрачивают неодинаковое количество труда и материальных ресурсов. Но рынок осредняет эти затраты, и стоимость товара определяется средним расходом ресурсов на производство.

Погода в определенном пункте земного шара в один и тот же день в разные годы может быть очень различной. Например, в Санкт-Петербурге 31 марта температура воздуха за сто с лишним лет наблюдений колебалась от -20,1° в 1883 г. до +12,24° в 1920 г. Примерно такие же колебания и в другие дни года. По таким индивидуальным данным о погоде в какой-то произвольно взятый год нельзя составить представление о климате Санкт-Петербурга. Характеристики климата - это средние за длительный период характеристики погоды - температуры воздуха, его влажность, скорость ветра, сумма осадков, число часов солнечного сияния за неделю, месяц и весь год и т.д.

Если средняя величина обобщает качественно однородные значения признака, то она является типической характеристикой признака в данной совокупности. Так, можно говорить об измерении типичного роста русских девушек рождения 1973 г. по достижении ими 20-летнего возраста. Типичной характеристикой будет средняя величина надоя молока от коров черно-пестрой породы на первом году лактации при норме кормления 12,5 кормовой единицы в сутки.

Однако неправильно сводить роль средних величин только характеристике типичных значений признаков в однородных по данному признаку совокупностях. На практике значительно чаще современная статистика использует средние величины, обобщающие явно неоднородные явления, как, например, урожайность всех зерновых культур по территории всей России. Или рассмотрим такую среднюю, как среднее потребление мяса на душу населения: ведь среди этого населения и дети до одного года, вовсе не потребляющие мяса, и вегетарианцы, и северяне, и южане, шахтеры, спортсмены и пенсионеры. Еще более ясна нетипичность такого среднего показателя, как произведенный национальный доход в среднем на душу населения.

Средняя величина национального дохода на душу, средняя урожайность зерновых по всей стране, среднее потребление разных продуктов питания — это характеристики государства, как единой народнохозяйственной системы, это так называемые системные средние.

Системные средние могут характеризовать как пространственные или объектные системы, существующие одномоментно (государство, отрасль, регион, планета Земля и т.п.), так и динамические системы, протяженные во времени (год, десятилетие, сезон и т.п.).

Примером системной средней, характеризующей период времени, может служить средняя температура воздуха в Санкт-Петербурге за 1992 г., равная +6,3°. Эта средняя обобщает крайне разнородные температуры зимних морозных дней и ночей, летних жарких дней, весны и осени. 1992 г. был теплым годом, его средняя температура не является типичной для Санкт-Петербурга. В качестве типической среднегодовой температуры воздуха в городе следует использовать многолетнюю среднюю, скажем, за 30 лет с 1963 по 1992 г., которая равна +5,05°. Эта средняя является типической средней, так как обобщает однородные величины; средние годовые температуры одного и того же географического пункта, варьирующие за 30 лет от +2,90° в 1976 г. до +7,44° в 1989 г.

mirznanii.com

13. Виды и порядок расчета средних величин.

Средняя величина - показатель, который хар-ет обобщенное значение признака или группы признаков в исследуемой совокупности. Если исследуется совокупность с качественно однородными признаками, то средняя величина выступает здесь как типическая средняя. Например, для групп работников определенной отрасли с фиксированным уровнем дохода определяется типическая средняя расходов на предметы первой необходимости, т.е. типическая средняя обобщает качественно однородные значения признака в данной совокупности, каковым является доля расходов у работников данной группы на товары первой необходимости.

При исследовании совокупности с качественно разнородными признаками на первый план может выступить нетипичность средних показателей. Такими, к примеру, являются средние показатели произведенного национального дохода на душу населения (разные возрастные группы), средние показатели урожайности зерновых культур по всей территории России (районы разных климатических зон и разных зерновых культур), средние показатели рождаемости населения по всем регионам страны, средние температуры за определенный период и т.д. Здесь средние величины обобщают качественно разнородные значения признаков или системных пространственных совокупностей (международное сообщество, континент, государство, регион, район и т.д.) или динамических совокупностей, протяженных во времени (век, десятилетие, год, сезон и т.д.). Такие средние величины называют системными средними.

Используются две категории средних величин: степенные средние; структурные средние. 1)Структурные средние- это мода и медиана. Медиана (Ме) - это величина, к-ая соответствует варианту, находящемуся в середине ранжированного ряда. Мода (Мо) - значение признака, к-ое встречается наиболее часто у единиц совокупности. Для дискретного ряда модой будет являться вариант с наибольшей частотой. 2)Степенные средние включает:  ср. арифметическую,  ср. гармоническую,  ср. квадратическую и ср. геометрическую. Условные обозначения: xi- величины, для которых исчисляется средняя; x - средняя, где черта сверху свидетельствует о том, что имеет место осреднение индивидуальных значений; f- частота (повторяемость индивидуальных значений признака). Различные средние выводятся из общей формулы степенной средней: ;

при k = 1 – ср. арифметическая; k = -1 - средняя гармоническая; k = 0 - . геометрическая; k = -2 – ср. квадратическая. Средние величины бывают простые и взвешенные. Взвешенные средние - величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность, в связи с чем каждый вариант приходится умножать на эту численность. Иными словами, «весами» выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту f называют статистическим весом или весом средней. Ср. арифметическая - самый распространенный вид средней. Она используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным статистическим данным, где нужно получить среднее слагаемое. Ср. арифметическая - это такое среднее значение признака, при получении которого сохраняется неизменным общий объем признака в совокупности. Формула средней арифметической (простой) имеет вид ; Ср. арифметическая взвешенная: ; Св-ва: 1)нулевое: сумма положительных отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения = сумме отрицательных отклонений. 2)минимальное: сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа (а), т.е. есть число минимальное.3) средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной: а=а при а = const. Средняя гармоническая- обратная ср. арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1. Простая ср. гармоническая используется тогда, когда веса значений признака одинаковы. Ее формулу можно вывести из базовой формулы, подставив k = -1: ; Ср. геометрическая. Чаще всего ср. геометрическая находит свое применение при определении средних темпов роста (средних коэффициентов роста), когда индивидуальные значения признака представлены в виде относительных величин. Она используется также, если необходимо найти среднюю между минимальным и максимальным значениями признака (например, между 100 и 1000000). Существуют формулы для простой и взвешенной средней геометрической. Для простой ср. геометрической: ; Для взвешенной ср. геометрической: ; Ср. квадратическая величина. Основной сферой ее применения является измерение вариации признака в совокупности (расчет ср. квадратического отклонения).Формула простой ср. квадратической: ; Формула взвешенной ср. квадратической: .

studfiles.net

• 
  Симс 3 древние века
• 
  Квест древняя сила скайрим
• 
  Вечевая демократия древней руси
• 
  Индеец древнего перу кроссворд
• 
  Знаки зодиака древних славян
• 
  Презентация армия древнего рима
• 
  Домус в древнем риме
• 
  Четыре красавицы древнего китая
• 
  5 драматургов древней греции
• 
  Богиня древнего египта сешат
• 
  Скайрим квест древняя сила