Египетская система счисления. История, описание, достоинства и недостатки, примеры древнеегипетской системы счисления. Система счисления древнего египта

Реферат на тему:

План:

Введение
• 1 Символика и значения
• 2 Звучание египетских цифр
Литература

Введение

Нумерация на барельефе с египетскими письменами.

Египетская система счисления — непозиционная система счисления, которая употреблялась в Древнем Египте вплоть до начала X века н.э. В этой системе цифрами являлись иероглифические символы; они обозначали числа 1, 10, 100 и т. д. до миллиона.

1. Символика и значения

Числа, не кратные 10, записывались путем повторения этих цифр. Каждая цифра могла повторяться от одного до 9 раз. Например, число 4622 обозначалось следующим образом:

Фиксированного направления записи чисел не существовало: они могли записываться справа налево или слева направо и даже вертикально. Например: иероглифическая запись , и обратная запись тех же иероглифов, обозначали одно и то же число - «12».

2. Звучание египетских цифр

Литература

• Allen, James Paul. 2000. Middle Egyptian: An Introduction to the Language and Culture of Hieroglyphs. Cambridge: Cambridge University Press. Numerals discussed in §§ 9.1—9.6.
• Gardiner, Alan Henderson. 1957. Egyptian Grammar; Being an Introduction to the Study of Hieroglyphs. 3rd ed. Oxford: Griffith Institute. For numerals, see §§ 259—266.
• Goedicke, Hans. 1988. Old Hieratic Paleography. Baltimore: Halgo, Inc.
• Möller, Georg. 1927. Hieratische Paläographie: Die aegyptische Buchschrift in ihrer Entwicklung von der Fünften Dynastie bis zur römischen Kaiserzeit. 3 vols. 2nd ed. Leipzig: J. C. Hinrichs’schen Buchhandlungen. (Reprinted Osnabrück: Otto Zeller Verlag, 1965)

Категории: Древний Египет, История математики, Системы счисления, Культура Древнего Египта, Наука в Древнем Египте.

Этот раздел не завершён.

Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Интуитивное представление о числе так же старо, как и само человечество. И с достоверностью проследить все ранние этапы его развития в принципе невозможно.

Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он владел наглядным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей.

То, что первобытные люди сначала знали только «один», «два» и «много», подтверждается тем, что в некоторых языках, например в греческом, существует три грамматические формы: единственного числа, двойственного числа и множественного числа.

Счёт изначально был связан с конкретным набором объектов: подсчёт поголовья скота, ведение торговли.

Очень широко был распространён счёт на пальцах. Наскальный рисунок, сохранившийся до наших времён от каменного века, изображает число 35 в виде серии выстроенных в ряд 35-ти палочек-пальцев.

Считать человек начал задолго до того, как он научился писать, поэтому не сохранилось никаких письменных документов, свидетельствовавших о тех словах, которыми в древности обозначались числа. Для кочевых племён характерны устные названия чисел, письменные названия стали необходимы лишь с переходом к осёдлому образу жизни. Именно тогда было заложено основание для развития математики.

^ Расшифровка системы счисления, созданной в Египте во времена первой династии (ок.2850 лет до н.э.), была облегчена тем, что иероглифические надписи древних египтян были аккуратно вырезаны на каменных монументах.

Из этих надписей известно, что египтяне использовали только десятичную систему счисления: для обозначения чисел, меньших 10-ти, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. Для обозначения числа 10, основания системы, вместо десяти вертикальных черт египтяне ввели новый символ, напоминающий подкову ∩. Число 100, они заменили другим новым символов, похожим на силки. Десять силков, то есть число 1000, обозначили стилизованным изображением лотоса. И так далее. В итоге древние египтяне смогли представлять числа до миллиона.

Наиболее важные свидетельства древнеегипетской математической деятельности запечатлены на двух папирусах, сохранившихся до наших времён – папирусе Ринда или Ахмеса (ок.1650 лет до н.э.) и московском папирусе или папирусе Голенищева (ок.1850 лет до н.э.). В этих документах более древнее иероглифическое письмо уступило место скорописному иератическому письму, в котором используется новый принцип обозначения чисел. Группа одинаковых символов заменяется более простой по начертанию пометкой или знаком. Причем знаки более высокого порядка располагались справа, а не слева.

Введение египтянами цифровых обозначений дало возможность существенно сократить записи.

Вавилон. Письменность шумеров является столь же древней, как и письменность египтян. Но жители Междуречья ввели совершенно новый принцип: они делали записи острой палочкой на мягких глиняных табличках, которые затем обжигали на солнце или в печи. Эти записи оказались более долговечными, поэтому десятки тысяч клинописных табличек хранятся в наше время в различных музеях мира.

Для малых чисел вавилонская система счисления напоминала египетскую: повторенный нужное число раз знак служил для записи чисел меньше 10, для обозначения числа 10 вводился новый знак .

Но для записи чисел больше 59-ти древние вавилоняне впервые использовали новый принцип – одно из самых выдающихся достижений в развитии систем обозначений чисел – принцип позиционности, то есть зависимости значения символа от его местоположения в записи числа. Но всё таки эта система оставалась относительно позиционной, так как не существовало эквивалента современной десятичной запятой и символа для обозначения отсутствующей позиции. Однако ок.300 лет до н.э. был введён специальный символ в виде двух больших клиньев, помещаемый на пустующее место, то есть обозначающий пустую позицию в записи числа. В то же время не было найдено ни одной таблички с записью, в которой символ нуля находился бы в конце числа.

^ В Древней Греции имели хождение две основные системы счисления. Первая – аттическая (или геродианова), по существу была десятичной системой, хотя в ней также было выделено и число пять. Аттические обозначения чисел использовали повторы коллективных символов.

Черта, обозначавшая единицу, повторенная нужное число раз, обозначала числа до четырёх. После четырёх греки вместо пяти черт ввели новый символ Г, первую букву слова «пента» (пять) (буква Г употреблялась для обозначения звука «п», а не «г»). Дойдя до десяти, они ввели ещё один новый символ ∆, первую букву слова «дека» (десять). Так как система была десятичной. грекам потребовались новые символы для каждой новой степени числа 10: символ Н означал 100 (гекатон), Х – 1000 (хилиои), символ М – 10 000 (мириои или мириада). Ещё большие числа обычно описывались словами.

Вторая принятая в Древней Греции система счисления – ионическая или алфавитная возникла, по всей видимости, у пифагорейцев, а широкое распространение получила в начале Александрийской эпохи. Эта более тонкая система счисления была чисто десятичной, и числа в ней обозначались примерно так же, как в древнеегипетской иератической системе. Используя двадцать четыре буквы греческого алфавита и ещё три архаических знака, ионическая система сопоставила девять букв первым девяти числам; другие девять букв – первым девяти целым кратным числа десять; и последние девять символов – первым девяти целым кратным числа 100. Для обозначения первых девяти целых кратных числа 1000 греки частично воспользовались древневавилонским принципом позиционности, снова использовав первые девять букв греческого алфавита, снабдив их штрихами слева. Например, число 6789 в ионической системе записывалось как FΨΠΘ. Чтобы отличить числа от слов, греки над соответствующей буквой ставили горизонтальную черту. Первоначально числа обозначались прописными буквами, но позднее сменились на строчные.

К этому периоду относятся работы одного из величайших математиков античности Архимеда, посвященные усовершенствованию системы обозначения больших чисел.

Другим великим греком, с чьим именем связывают развитие математики был Пифагор. Целые числа он представлял в виде конфигураций из точек или камешков, классифицируя эти числа в соответствии с формой возникающих фигур («фигурные числа»). Слово «калькуляция» (расчёт, вычисление) берёт начало от греческого слова, означающего «камешек».

Переняв систему счисления Древнего Вавилона, греки заменили месопотамскую клинопись своими буквенными обозначениями. В более поздний период они ввели специальный символ для обозначения «пустой» позиции букву омикрон. Неясно, был ли такой выбор подсказан тем, что с этой буквы начиналось слово оуден (ничто). Нет точных данных, объясняющих сходство греческой буквы О с современным обозначением нуля.

Рим. Римские обозначения чисел известны нам лучше, чем любая другая система счисления. Объясняется это не столько какими-то особыми достоинствами римской системы, сколько огромным влиянием, которым пользовалась римская империя в сравнительно недавнем прошлом. Основные принципы Римской системы имеют много общего с аттической системой счисления. Обе системы были десятичными, хотя в обеих системах счисления особую роль играло число пять. Обе системы использовали при записи чисел повторяющиеся символы. Старыми римскими символами для обозначения чисел 1, 5, 10, 100 и 1000 были, соответственно, символы I, V, X, Θ. Согласно одной из распространённых теорий, римская цифра V изображает раскрытую ладонь с четырьмя прижатыми друг к другу пальцами и отставленным большим пальцем. Символ Х изображает две скрещенные руки или сдвоенную цифру V. Неизвестно, произошли ли более поздние обозначения чисел 100 и 1000 – С и М от старых римских символов или связаны с начальными буквами латинских слов «центум» (сто) и «миле» (тысяча).

Для сокращения записи римляне часто использовали принцип вычитания. Например, иногда вместо ^ использовали IX и XC вместо LXXXX; и позднее символ IV вместо IIII.

В целом римляне не были склонны заниматься математикой, поэтому не испытывали особой потребности в больших числах.

^ могут претендовать на роль создателей алфавитного принципа обозначения чисел в том виде, как он использовался в ионической системе. Первые девять букв алфавита обозначали первые девять целых чисел; ещё девять букв обозначали первые девять кратных числа 10; остальные буквы использовались для обозначения сотен. Это подтверждает, что всё таки алфавитные обозначения чисел были заимствованы евреями у греков.

Америка. Исследователи, путешествовавшие в 16 в. по Центральной Америке, обнаружили цивилизации с высокоразвитыми системами счисления, отличными от тех, которые были известны в Европе. Самыми важными элементами в системе счисления майя были использование позиционного принципа и символа нуля. В схеме майя точка означала единицу, а повторяющиеся точки – числа до четырёх; пять обозначали горизонтальной чертой, а две и три горизонтальные черты обозначали. соответственно, числа 10 и 15. Для обозначения числа 20 майя воспользовались позиционным принципом, используя точку, помещённую над символом нуля.

Система счисления у ацтеков в Мексике была двадцатиричной, но в ней они не использовали ни позиционный принцип, ни специальный символ нуля. точка означала у ацтеков единицу, а для обозначения степеней числа 20 были введены новые знаки: флаг для 20, дерево для 400 и кошелёк для 8000. При необходимости другие числа представлялись с помощью повторения этих символов.

^ Одна из древнейших систем счисления была создана в Китае, а также в Японии. Эта система возникла как результат оперирования с палочками, выкладываемыми для счёта на стол или доску. Числа от одного до пяти обозначались вертикальными палочками, к большим числам добавлялись горизонтальные палочки.

Во второй китайской системе счисления для обозначения первых девяти целых чисел или символов используют девять различных знаков и одиннадцать дополнительных символов для обозначения первых одиннадцати степеней числа 10. В сочетании с умножением и вычитанием это позволяло записывать любое число меньше триллиона.

Индия. Индийские системы счисления проходили те же этапы в своём развитии, что и все прочие цивилизации. В Древней Индии существовала система похожая на египетскую иероглифичекую с использованием вертикальных черточек для обозначения малых чисел. Позднее индийская система стала напоминать аттическую, в которой для обозначения чисел 4, 10, 20 и 100 использовались повторения коллективных символов. Эта система носила название кхарошти. Постепенно она уступила место системе брахми, где буквами алфавита обозначались единицы, десятки, сотни и тысячи.

Надписи, содержащие обозначения чисел, которые позднее получили название индо-арабской системы, были найдены в Нана-Гат Насике и относятся к первым векам н.э.. К 8-9 вв. н.э. индийская система деванагари уже имела элементы современной системы счисления: она была десятичной, цифровой и позиционной. Даже в начертании цифр деванагари можно заметить сходство с начертанием современных цифр.

Именно индийские математики ввели нуль и как кардинальное число, и как символ отсутствия единиц в соответствующем разряде.

Аравия. Современную систему обозначения чисел часто называют арабской. Вначале арабы записывали числа словами, затем, как это делали греки, стали обозначать их буквами своего алфавита. В 772г.н.э. в Багдад был привезён и переведён на арабский язык индийский трактат «Сидданта», в котором раскрывались особенности индийской системы счисления. С этого времени стали использоваться две системы: 1 – в астрономии по-прежнему употребляли алфавитную систему, 2 – в торговых расчётах купцы стали применять систему, заимствованную из Индии. Обозначения чисел в этой системе получили название «гобар» или «песчаные», возможно, потому что индийцы часто производили вычисления на песке, а арабы пользовались ими при вычислениях на «песчаном абаке». Но само происхождение этих цифр, от которых в свою очередь произошли современные цифры, остаётся неизвестным.

^ Первым европейским учёным, о котором достоверно известно, что он ввёл в употребление в Европе арабские цифры, был Герберт. Затем в 12 веке Хуан из Севильи перевёл на латынь трактат De numero indorum (Об индийских числах) арабского математика Аль-Хорезми. Позднее новая система получила название алгоритм – от искажённого Аль-Хорезми. С 1585 года индо-арабская система обозначений стала использоваться и применительно к дробям. В 17 веке в употребление вошла десятичная запятая (или точка), которой стали отделять целую часть числа от дробной.

После всех этих изменений развитие современной системы счисления завершилось. Но это не означает, что была достигнута полная стандартизация в названиях или обозначениях чисел. В Америке и Франции биллион означает тысячу миллионов, а в Англии и Германии – миллион миллионов. В континентальной Европе часто используется десятичная запятая, а в англосаксонских странах предпочитают ставить точку.

Литература:

1. Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающая наука. М., 1959г.
2. Данн-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. М., 1986г.
3. История математики с древнейших времён до начала ХIХ столетия, том I, М., Наука, 1972г.